基本的な関係の実証

円の中のピタゴラス

点$P=(\cos x,\sin x)$は原点から1単位離れたところにあります。軸上の投影は、$|\cos x|$ と $|\sin x|$ を辺とする直角三角形を形成します。ピタゴラスを適用すると、次のようになります。

$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$

軸上では、等しいことが直接検証されます。1 つの座標はゼロで、もう 1 つの座標は係数 1 です。したがって、同一性はすべての実 $x$ に当てはまります。

定義と以前のアイデンティティは以下を提供します。

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x},$$

$$\sec x=\frac1{\cos x},\quad\csc x=\frac1{\sin x}.$$

基本的な同一性を $\cos^2x$ で割ると、$\cos x\ne0$ が必要になり、次のようになります。

$$1+\tan^2x=\sec^2x.$$

$\sin^2x$ を $\sin x\ne0$ で割ると、次のようになります。

$$1+\cot^2x=\csc^2x.$$

サインとコサインがゼロでない場合でも、$\tan x\cot x=1$ は有効です。これらの結果は、分母の条件を無視するものではありません。

第 2 象限に $\sin x=5/13$ と $x$ があるとします。それから：

$$\cos^2x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}.$$

この象限ではコサインが負であるため、$\cos x=-12/13$ になります。したがって、次のようになります。

$$\tan x=-\frac5{12},\quad\cot x=-\frac{12}{5},\quad \sec x=-\frac{13}{12},\quad\csc x=\frac{13}{5}.$$

平方根には 2 つの符号の可能性があります。象限は選択を可能にするデータです。

$\sin^2x$は$(\sin x)^2$を意味します。 $\sin(x^2)$ は入力の 2 乗にサインを適用するものであり、別の関数です。同様に、正方形間の同一性では、符号を考慮せずに値を直接同等にすることはできません。

傾斜面。 ランプ上の重りの成分 $P\operatorname{sen}\alpha$ と $P\cos\alpha$ は、基本的な関係によって重みを再構成します。
電気エネルギー。 有効電力、無効電力、皮相電力は、$P = S\cos\varphi$ と $Q = S\operatorname{sen}\varphi$ で直角三角形 $S^2 = P^2 + Q^2$ を形成します。
データを取得します。 センサーが角度のコサインのみを測定する場合、基本的な関係によりサインが返されます。欠落しているのは象限からの信号だけです。

同じ角度のサインとコサインが画面の対角線を再構成します。

1 $\tan x=3/4$の場合は$\sec^2x$を計算します。

解像度確認1

$\sec^2x=1+9/16=25/16$。正方形は決まっています。セカントの符号は象限によって異なります。

2. $\cos x=-3/5$ と $x$ が第 3 象限にある場合、正弦を計算します。

解像度確認2

$\sin^2x=1-9/25=16/25$。第 3 象限では、$\sin x=-4/5$。

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