関数間の平等

三角恒等式は、宣言されたドメインのすべてのエントリに対して有効な等式です。値と式が存在するポイントの両方を確認する必要があります。

たとえば、$\cos x\ne0$の場合は$\sec^2x-\tan^2x=1$が有効となります。除外された点には右側も存在しますが、これは式の領域を左側に拡張しません。

最初の方法: メンバーの 1 人を変身させる

$\sin x\tan x+\cos x=\sec x$ を $\cos x\ne0$ で示すために、左から開始します。

$$\begin{aligned} \sin x\tan x+\cos x &=\frac{\sin^2x}{\cos x}+\frac{\cos^2x}{\cos x}\\ &=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos x}=\frac1{\cos x}. \end{aligned}$$

正割の定義によって右側の要素を認識します。

2 番目の方法: 2 つを共通の式に変換します

考慮する：

$$\frac{1-\cos^2x}{\sin x}=\sin x.$$

ドメイン $\sin x\ne0$ では、左側のメンバーが $\sin^2x/\sin x=\sin x$ になります。各変換がドメインを尊重する限り、両側を 3 番目の式に変換することもできます。

3 番目の方法: 可逆的等価性

各ステップが可逆であれば、提案された等式に取り組むことができます。 $\sin x\ne0$の場合:

$$\begin{aligned} \frac{1-\cos^2x}{\sin x}=\sin x &\iff1-\cos^2x=\sin^2x\\ &\iff1=\sin^2x+\cos^2x. \end{aligned}$$

最後の等価性が判明し、すべてのステップを元に戻すことができます。逆に、二乗は常に可逆であるとは限りません。$u=v$ は $u^2=v^2$ を意味しますが、返されると $u=-v$ が得られる場合があります。

数値例は実証ではありません

$x=0$ と $x=\pi/2$ をテストするとエラーの発見に役立つ場合がありますが、すべての実数に関する記述を証明するわけではありません。反駁するには反例で十分です。証明には一般論証が必要です。

日常生活での応用

  • 地図。 地球の表面上の距離を計算するために使用されるハバサイン式は、単位 $\operatorname{sen}^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$ に依存します。
  • Rms 電圧。 同定によると、127 Rms はコンセントの約 180 V のピークに等しいことがわかります。
  • 式をチェックします。 エンジニアは、単純なケースで既知の恒等式に帰着するかどうかをテストすることで、長い式をチェックします。
ソケットのアイデンティティ $\operatorname{sen}^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$: 180 V のピークと 127 V の実効値電圧。

決意を持って練習する

1. $(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos^2x$ をデモンストレーションします。

解像度確認1

二乗の差により、左側のメンバーは$1-\sin^2x=\cos^2x$になります。分母はありません。すべての実数に当てはまります。

2. $(1-\sin x)/\cos x$ を共役式で乗算して簡略化します。新しいフォームの条件を述べます。

解像度確認2

$\cos x/(1+\sin x)$ の形式は、$(1+\sin x)/(1+\sin x)$ を乗算した結果です。元のドメイン $\cos x\ne0$ には $\sin x\ne-1$ も存在するため、使用される要素が存在します。この領域では 2 つの形式は同等です。

インタラクティブブックでは

すべてのデモンストレーションと演習の完全なリストを含む同じ主題が、インタラクティブな三角関数の本に含まれています。

このクラスは、このトピックの短い紹介です。この本では、理論に、その章の解決済みおよび提案された演習が付属しています。

ステージインデックス · ← 前のクラス · 次のクラス→