Nomear cada segmento

Em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Chame-a de $a$ e os catetos de $b,c$. Os outros ângulos são agudos e somam $90°$.

Trace a altura $h$ até a hipotenusa. Ela divide $a$ em duas projeções: $m$, associada ao cateto $b$, e $n$, associada ao cateto $c$. Assim, $m+n=a$.

Demonstração por semelhança

Os dois triângulos menores têm um ângulo reto e um ângulo agudo igual ao do triângulo original. São semelhantes a ele. Comparando os lados correspondentes:

$$\frac b a=\frac m b\Rightarrow b^2=am,\qquad \frac c a=\frac n c\Rightarrow c^2=an.$$

Somando as duas igualdades e usando $m+n=a$:

$$b^2+c^2=a(m+n)=a^2.$$

Obtivemos o teorema de Pitágoras. Ele foi deduzido de relações entre lados semelhantes, sem depender de um exemplo de medidas particulares.

A altura por dois caminhos

A área pode ser calculada pelos catetos ou pela hipotenusa e sua altura:

$$\frac{bc}{2}=\frac{ah}{2}\Rightarrow ah=bc.$$

Elevando ao quadrado e substituindo $b^2=am$ e $c^2=an$:

$$h^2=\frac{b^2c^2}{a^2}=\frac{am\cdot an}{a^2}=mn.$$

Portanto, $h=\sqrt{mn}$. Todas essas medidas são positivas.

A mediana até a hipotenusa

O ponto médio M da hipotenusa fica à mesma distância dos três vértices. Para perceber por quê, complete o triângulo até formar um retângulo. As diagonais do retângulo são iguais e cortam-se ao meio. Cada metade mede $a/2$.

Assim, a mediana traçada do ângulo reto até M mede $a/2$. Isso também mostra que o círculo de centro M e raio $a/2$ passa pelos três vértices.

Exemplo resolvido

Para catetos 6 e 8 cm, $a=\sqrt{36+64}=10$ cm. Então:

$$h=\frac{6\cdot8}{10}=4{,}8\text{ cm},$$

$$m=\frac{6^2}{10}=3{,}6\text{ cm},\qquad n=\frac{8^2}{10}=6{,}4\text{ cm}.$$

A soma das projeções é 10 cm e a mediana mede 5 cm, confirmando as relações.

No dia a dia

  • Esquadro de pedreiro. Marcando 3 m, 4 m e conferindo 5 m de diagonal, o pedreiro garante um canto reto.
  • Tamanho da TV. As polegadas da TV medem a diagonal: largura e altura são os catetos.
  • Atalho. Cortar caminho na diagonal de um terreno de 30 m por 40 m economiza 20 m.
O esquadro do pedreiro: 3 m numa parede, 4 m na outra; se a diagonal der 5 m, o canto é reto, porque $3^2 + 4^2 = 5^2$.

Exercícios com resolução

1. A altura divide a hipotenusa em 4 e 9 cm. Calcule a hipotenusa e a altura.

Conferir resolução 1

$a=4+9=13$ cm e $h=\sqrt{4\cdot9}=6$ cm.

2. A hipotenusa mede 26 cm. Quanto mede a mediana que parte do ângulo reto?

Conferir resolução 2

A metade da hipotenusa: $26/2=13$ cm.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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