四个定理完善了三角形的三角性质：一个定理将每条边分解为另外两条边的投影，两个定理给出了面积，最后一个定理，即切线定律，将边的和和差与角的和和差联系起来。

故事

切线定律由丹麦人Thomas Fincke在1583中发表，在同一本书中他命名了切线（见第八章），François Viète也同时使用了它。它在对数表时代变得非常实用：因为它只涉及商和乘积，它允许您在知道两条边和它们之间的角度的情况下求解三角形，无需添加平方，这是余弦定律所要求的。对于对数，每次乘法或除法都变成了从表中取出的数字的加法或减法。

对于对数来说，乘法就是加法：正是纳皮尔表格和计算尺的原理，使得切线定律变得如此实用。
  1. 生于爱丁堡附近的默奇斯顿塔楼，父亲是一位 16 岁的贵族。
  2. 13 岁进入苏格兰最古老的大学，未拿学位就离开了。
  3. 到国外求学，可能在法国或低地国家。文献没有记载具体地点，地图上的点只是示意。
  4. 住在他在家族领地上建造的城堡里。撰写关于《启示录》的著作，并开始计算对数。
  5. 与罗伯特·洛根签约，寻找藏在城堡里的宝藏，条件是分得三分之一。
  6. 成为默奇斯顿的领主。发表对数（1614），接待布里格斯（1615），出版《算筹术》，1617 年去世。
  7. 在格雷沙姆学院，亨利·布里格斯读了这本书，动身前往爱丁堡拜见作者。
  8. 开普勒见到这些表，写信给这位男爵（不知道他已去世），并在《鲁道夫星表》中使用对数。
纳皮尔在苏格兰的足迹，以及他的对数表传到伦敦和开普勒手中的路线。 地图：© OpenStreetMap 贡献者

来源： Fincke (MacTutor) · Viète (MacTutor) · Napier (MacTutor)。

在日常生活中

  • **土地。**一块三角形土地，边长为 40 米，边长为 30 米，形成 $60^\circ$，面积为 $\frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 \operatorname{sen} 60^\circ \approx 519{,}6$ 平方米。
  • **不规则区域。**测量员和地图程序将任何多边形划分为三角形并添加区域；这就是土地或农场面积的计算方式。
  • **工程和翻新。**要购买三角形花坛的地板或草坪，只需测量两侧和它们之间的角度即可。
三角形土地两侧的面积以及它们之间的角度。

理论

投影定理

Teorema投影定理

$$a = b\cos\hat{C} + c\cos\hat{B} \qquad b = a\cos\hat{C} + c\cos\hat{A} \qquad c = a\cos\hat{B} + b\cos\hat{A}$$
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让我们尝试第一个；其他类似。令 $\overline{AD}$ 为相对于 $\overline{BC}$ 的高度。

第一种情况：$\hat{B} < 90^\circ$ 和 $\hat{C} < 90^\circ$。 $D$ 位于 $B$ 和 $C$ 之间。在直角三角形中$ABD$、$BD = c\cos\hat{B}$；在直角三角形 $ADC$、$DC = b\cos\hat{C}$ 中。然后$a = BD + DC = c\cos\hat{B} + b\cos\hat{C}$。

第二种情况：$\hat{B}$钝角（$\hat{C}$钝角的情况是对称的）。 $D$落在$\overline{CB}$的延伸范围内，超出$B$； $BD = c\cos(180^\circ - \hat{B}) = -c\cos\hat{B}$ 和 $DC = b\cos\hat{C}$。然后$a = DC - DB = b\cos\hat{C} + c\cos\hat{B}$。

第3种情况：$\hat{B}$或$\hat{C}$直。$D$与直角顶点重合，公式继续有效，如$\cos 90^\circ = 0$。

面积作为两侧和它们之间的角度的函数

Teorema三角区

在任何三角形中，面积等于两条边的半积乘以它们形成的角度的正弦：

$$S = \frac{1}{2}bc\operatorname{sen}\hat{A} = \frac{1}{2}ac\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{1}{2}ab\operatorname{sen}\hat{C}$$
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令 $\overline{BD}$ 为相对于边 $\overline{AC}$ 的高度。如果$\hat{A} < 90^\circ$，在直角三角形$ADB$中我们有$DB = c\operatorname{sen}\hat{A}$；如果$90^\circ < \hat{A} < 180^\circ$、$D$在$\overline{CA}$和$DB = c\operatorname{sen}(180^\circ - \hat{A}) = c\operatorname{sen}\hat{A}$的扩展中。在这两种情况下（以及如果 $\hat{A} = 90^\circ$），

$$S = \frac{AC \cdot DB}{2} = \frac{b \cdot c\operatorname{sen}\hat{A}}{2}.$$

其他两个式子同理证明。

对于两个固定边，当它们之间的角度正确时（此处为 $\frac{1}{2}bc = 1$），面积 $S = \frac{1}{2}bc\operatorname{sen}\hat{A}$ 最大。

面积与外接圆半径的函数关系

Teorema面积和外接半径

在任何三角形中，面积等于三边的乘积除以外接圆半径的四倍：

$$S = \frac{abc}{4R}$$
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根据正弦定理， $\operatorname{sen}\hat{A} = \dfrac{a}{2R}$。更换于 $S = \dfrac{bc}{2}\operatorname{sen}\hat{A}$，他来了 $S = \dfrac{bc}{2} \cdot \dfrac{a}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$.

切线定律

Teorema切线定律

在任何非等腰三角形中，以下规则适用：

$$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}}$$$$\frac{a + c}{a - c} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} + \hat{C}}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} - \hat{C}}{2}}$$$$\frac{b + c}{b - c} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\hat{B} - \hat{C}}{2}}$$

（在公式中，差的边必须不相等，并且所涉及的角度都不可能正确以使切线存在）。

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由正弦定理， $\dfrac{a}{b} = \dfrac{\operatorname{sen}\hat{A}}{\operatorname{sen}\hat{B}}$。根据比例的性质（“总和除以差……”）：

$$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\operatorname{sen}\hat{A} + \operatorname{sen}\hat{B}}{\operatorname{sen}\hat{A} - \operatorname{sen}\hat{B}} = \frac{2\operatorname{sen}\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}\cos\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}}{2\operatorname{sen}\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}\cos\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}}.$$

其他两个也以类似的方式证明。

本节中的练习是[章节列表]中的编号393到399（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap10-triangulos-quaisquer/05-exercicios/).