反正弦、反余弦和反正切（第七章）。
Teste 158MACK-74
设$f$、$g$和$h$为$A$中$A$的函数，其中$A = [-1, 1]$，定义如下：$f(x) = \operatorname{sen} x$、$g(x) = \operatorname{sen}\pi x$、$h(x) = \frac{\pi}{2}x$。我们可以声明：
$f$（$[-1, 1]$中的正弦）是单射的，有图像$[-\operatorname{sen} 1, \operatorname{sen} 1]$； $g(x) = \operatorname{sen}\pi x$ 具有图像 $[-1, 1]$（满射），但不是单射 ($g(0) = g(1) = 0$)； $h$ 是单射的，其图像 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 甚至不适合 $A$。只有 $g$ 是满射的。打印的模板显示（e），但三者中没有一个既是$A$中$A$的注入器又是喷射器；正确的说法是(d)。
Teste 159MACK-73
$y = \operatorname{arc\,sen}\sqrt{2x - 3}$定义的函数的定义域为：
根需要$2x - 3 \ge 0$，反正弦需要$\sqrt{2x - 3} \le 1$：$0 \le 2x - 3 \le 1$，即$\frac{3}{2} \le x \le 2$。
Teste 160MACK-77
$\operatorname{arc\,sen}\left(\cos\frac{33\pi}{5}\right)$的值为：
$\cos\frac{33\pi}{5} = \cos\frac{3\pi}{5} = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}\right) = \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{10}\right)$，$-\frac{\pi}{10}$在$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$中。
Teste 161MACK-74
$\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,sen}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$的值为：
$\operatorname{arc\,sen}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ e $\operatorname{tg}\frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$.
Teste 162PUC-71
由于弧的确定范围在$0$和$\frac{\pi}{2}$之间，因此表达式$y = \operatorname{sen}\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{1 + a^2} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{1}{1 + a^2}\right)$的值为：
对于所有$u \in [-1, 1]$、$\operatorname{arc\,sen} u + \operatorname{arc\,cos} u = \frac{\pi}{2}$；然后$y = \operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1$。
Teste 163ITA-72
对于所有 $\alpha$ 和 $\beta$，以及 $|\beta| < 1$，表达式 $\operatorname{tg}(\operatorname{arc\,tg}\alpha + \operatorname{arc\,sen}\beta)$ 等于：
对于$\operatorname{tg} A = \alpha$和$\operatorname{tg} B = \frac{\beta}{\sqrt{1 - \beta^2}}$：$\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\alpha\sqrt{1 - \beta^2} + \beta}{\sqrt{1 - \beta^2} - \alpha\beta}$，不出现。打印的模板显示(a)，但是失败，例如，对于$\alpha = 1$、$\beta = 0$：$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$，而(a)给出$-1$。
Teste 164PUC-70
$2\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3} + \operatorname{arc\,tg}\frac{1}{7}$ 等于：
这是练习 269：$\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{4}$ 和 $\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3} + \operatorname{arc\,tg}\frac{1}{7}\right) = \frac{3/4 + 1/7}{1 - 3/28} = 1$，总和在 0 和 $\frac{\pi}{2}$ 之间。
Teste 165LINS-67
承认$\operatorname{arc\,sen} x$在闭区间$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$内的变化，方程$\operatorname{arc\,sen} x = 2\operatorname{arc\,sen}\frac{1}{2}$的解为：
$2\operatorname{arc\,sen}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$ 和 $\operatorname{arc\,sen} x = \frac{\pi}{3} \iff x = \frac{\sqrt{3}}{2}$，它们不会出现在替代项中。
Teste 166MACK-75
$\operatorname{arc\,sen} 2x - 3\operatorname{arc\,sen} x = 0$的解集有：
对于$\theta = \operatorname{arc\,sen} x$：需要$3\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$和$2x = \operatorname{sen} 3\theta = 3x - 4x^3$，即$x(1 - 4x^2) = 0$。三个根 $0$ 和 $\pm\frac{1}{2}$ 很好（$\theta = \pm\frac{\pi}{6}$ 给出 $3\theta = \pm\frac{\pi}{2} = \operatorname{arc\,sen}(\pm 1)$）。
Teste 167VALEPARAIBANA-72
求解方程$\operatorname{arc\,tg}\left(\dfrac{1 + e^x}{2}\right) + \operatorname{arc\,tg}\left(\dfrac{1 - e^x}{2}\right) = \dfrac{\pi}{4}$，我们得到：
为$A = \frac{1 + e^x}{2}$和$B = \frac{1 - e^x}{2}$、$A + B = 1$和$\operatorname{tg}(\operatorname{arc\,tg} A + \operatorname{arc\,tg} B) = \frac{1}{1 - AB} = 1 \Rightarrow AB = 0 \Rightarrow e^{2x} = 1 \Rightarrow x = 0$。检查：$\operatorname{arc\,tg} 1 + \operatorname{arc\,tg} 0 = \frac{\pi}{4}$。
Teste 168MACK-76
$f(x) = \operatorname{arc\,sen} x$和$g(x) = 1 + \operatorname{cotg}^2 x$，$(g \circ f)\left(\frac{1}{3}\right)$的值为：
$g(f(x)) = 1 + \operatorname{cotg}^2(\operatorname{arc\,sen} x) = \operatorname{cossec}^2(\operatorname{arc\,sen} x) = \frac{1}{x^2}$；对于 $x = \frac{1}{3}$，其值是 9。
Teste 169ITA-71
让我们考虑方程 $[\log_e(\operatorname{sen} x)]^2 - \log_e(\operatorname{sen} x) - 6 = 0$。方程的解由下式给出：
对于 $L = \log_e(\operatorname{sen} x)$：$L^2 - L - 6 = 0 \Rightarrow L = 3$ 或 $L = -2$。如$\operatorname{sen} x \le 1$、$L \le 0$；剩下$\operatorname{sen} x = e^{-2}$，即$x = \operatorname{arc\,sen}\frac{1}{e^2}$（减去具有相同正弦值的弧）。
Teste 170ITA-75
设$S = \log_3(\operatorname{tg} x_1) + \log_3(\operatorname{tg} x_2) + \log_3(\operatorname{tg} x_3) + \cdots$，其中$x_1 = \frac{\pi}{3}$和$x_{n+1} = \operatorname{arc\,tg}\sqrt{\operatorname{tg} x_n}$，$n = 1, 2, 3, \ldots$在这些条件下，我们可以保证：
$\operatorname{tg} x_1 = \sqrt{3} = 3^{1/2}$，每条切线是前一条切线的平方根：$\operatorname{tg} x_n = 3^{1/2^n}$。然后$S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$。
Teste 171ITA-72
让我们考虑函数 $S(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\operatorname{sen} x)^n$，其中 $0 < x < \frac{\pi}{2}$。对于$x$的什么值，我们有$10 \le S(x) \le 20$？
对于 $s = \operatorname{sen} x \in\, ]0, 1[$，几何级数之和为 $S = \frac{s}{1 - s}$。 $10 \le \frac{s}{1 - s} \le 20 \iff \frac{10}{11} \le s \le \frac{20}{21}$，并且随着反正弦增加，我们得到(c)。
