Durante muito tempo, Agnesi foi lembrada de duas maneiras que pouco tinham a ver com o que ela fez. Para os matemáticos de língua inglesa, era o nome de uma curva com apelido de bruxa. Para os milaneses, era uma santa da caridade que, quando jovem, tinha escrito um livro difícil. As duas imagens escondiam a autora de um dos livros de matemática mais influentes do século XVIII.

O livro

As Instituzioni analitiche foram, durante décadas, o curso de cálculo mais completo disponível na Europa. Na Itália, foram usadas por gerações de estudantes. A tradução francesa do segundo volume, de 1775, e a inglesa de John Colson, de 1801, levaram o livro a outros públicos. A ordem que Agnesi escolheu, da álgebra às curvas, das derivadas às integrais e às equações diferenciais, é essencialmente a dos cursos de cálculo até hoje.

A curva

A curva de Agnesi continua aparecendo onde menos se espera:

  • na estatística, como a distribuição de Cauchy, o exemplo clássico de uma distribuição sem média;
  • na física, como a curva lorentziana, a forma das linhas espectrais e das ressonâncias;
  • no cálculo numérico, como a função de Runge, $\frac{1}{1 + 25x^2}$. Em 1901, Carl Runge mostrou que, ao aproximar essa função por polinômios que passam por pontos igualmente espaçados, o erro perto das bordas aumenta quando se usam mais pontos. É o “fenômeno de Runge”, que todo curso de métodos numéricos ensina como advertência;
  • na geografia e na meteorologia, como modelo simples do perfil de uma colina, usado em estudos do vento que passa sobre montanhas.
Busto de Maria Gaetana Agnesi sob as arcadas do pátio do Palácio de Brera, em Milão.
Busto de Maria Gaetana Agnesi sob as arcadas do pátio do Palácio de Brera, em Milão.Giovanni Dall’Orto · Wikimedia Commons · atribuição

Os nomes

O asteroide 16765 Agnesi e uma cratera em Vênus levam o seu nome. Em Milão, há ruas e escolas com o nome dela, um busto no pátio do Palácio de Brera, um perfil no Famedio do Cemitério Monumental e uma placa no lugar onde morreu.

Placas em Milão que lembram Maria Gaetana Agnesi no lugar onde ela morreu, em 1799.
Placas em Milão que lembram Maria Gaetana Agnesi no lugar onde ela morreu, em 1799.Bramfab · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0

A matemática de Deus

Nas últimas décadas, historiadores como Massimo Mazzotti e Paula Findlen reconstituíram o mundo de Agnesi, a Milão católica e ilustrada do século XVIII, e mostraram que a matemática e a caridade não eram duas vidas separadas. Para Agnesi, estudar geometria era um modo de exercitar a razão que levava a Deus, e servir aos pobres era a consequência dessa mesma fé. O subtítulo do livro de Mazzotti resume essa leitura: Agnesi, a matemática de Deus.

O que fica, para quem estuda cálculo hoje, é o exemplo de alguém que escreveu, aos trinta anos, o livro que gostaria de ter tido para aprender, e o escreveu tão bem que matemáticos de toda a Europa o usaram para ensinar.

Exercício: a função de Runge

A função de Runge é $y = \frac{1}{1 + 25x^2}$. Mostre que ela é uma curva de Agnesi, encontre o diâmetro $a$ do círculo gerador e calcule a área total sob ela.

Escreva $\frac{1}{1 + 25x^2} = \frac{1/25}{x^2 + 1/25}$. A curva de Agnesi de diâmetro $a$ é $\frac{a^3}{x^2 + a^2}$; com $a^2 = \frac{1}{25}$, $a = \frac{1}{5}$, ela fica $\frac{1/125}{x^2 + 1/25}$, que é $\frac{1}{5}$ da função de Runge. Então a função de Runge é uma versiera esticada verticalmente pelo fator 5. A área é $5 \cdot \pi a^2 = 5 \cdot \frac{\pi}{25} = \frac{\pi}{5}$. Também se chega lá pela substituição $u = 5x$: $\int \frac{dx}{1 + 25x^2} = \frac{1}{5}\int \frac{du}{1 + u^2} = \frac{\pi}{5}$.

Exercício: a largura de uma linha espectral

Uma linha espectral tem a forma lorentziana $I(x) = \frac{I_0}{1 + \left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)^2}$. Em que valores de $x$ a intensidade cai à metade do máximo? Qual é a largura da linha a meia altura?

O máximo é $I_0$, em $x = x_0$. A metade, $\frac{I_0}{2}$, acontece quando $\left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)^2 = 1$, ou seja, $x = x_0 \pm \gamma$. A largura a meia altura é $2\gamma$. É o mesmo resultado que vimos para a versiera, que está na metade da altura em $x = \pm a$.

Fontes: Massimo Mazzotti, The World of Maria Gaetana Agnesi, Mathematician of God (2007) · Paula Findlen, “Calculations of Faith: Mathematics, Philosophy, and Sanctity in Eighteenth-Century Italy (New Work on Maria Gaetana Agnesi)”, Historia Mathematica 38 (2011) · Carl Runge, “Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten”, Zeitschrift für Mathematik und Physik 46 (1901) · biografia de Agnesi, MacTutor.

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