方程：寻找隐角

机舱什么时候达到同样的高度？

查找 $\operatorname{sen} x=1/2$ 是询问机舱处于高度 $1/2$ 的哪个位置。一条水平线在两个点处切割循环：一个在第一象限，一个在第二象限。一轮中，这些是$30°$和$150°$。

在本章中，主要示例使用度数。当出现 $\pi$ 时，角度将以弧度为单位。

演示：两个响应系列

$\alpha$和$180°-\alpha$的点具有相同的高度。此外，完整的转弯也能保持要点。这些都是可能的，因为水平线最多可以在两个点处切割圆。标识：

$$\operatorname{sen} x=\operatorname{sen}\alpha\iff \begin{cases} x=\alpha+360°k,\ \text{ou}\\ x=180°-\alpha+360°k. \end{cases}$$

对于余弦，垂直线给出点 $\alpha$ 和 $-\alpha$：

$$\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+360°k.$$

对于切线，相反的方向具有相同的坐标商：

$$\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+180°k,$$

具有定义的切线。这里$k$是一个整数。要使用弧度，请将 $360°$ 更改为 $2\pi$，将 $180°$ 更改为 $\pi$。

带范围的示例

将 $\operatorname{sen} x=1/2$ 解为 $0°\le x<720°$。来自第一家庭的是$30°$和$390°$；第二个的 $150°$ 和 $510°$。休息时间允许跑两圈。完整的答案尊重范围的两端。

如果所请求的正弦或余弦值在 $[-1,1]$ 之外，则没有真正的解决方案。例如，$\cos x=2$ 是不可能的。

换衣服的方程式

考虑$2\operatorname{sen}^2x-\operatorname{sen} x=0$。突出显示$\operatorname{sen} x$：

$$\operatorname{sen} x(2\operatorname{sen} x-1)=0.$$

当至少一个因子为零时，乘积为零。因此，$\operatorname{sen} x=0$ 或 $\operatorname{sen} x=1/2$。在$[0°,360°)$中，解是$0°$、$30°$、$150°$和$180°$。

如果我们从一开始就将方程除以 $\operatorname{sen} x$，我们将丢失零正弦解。保理让可能性变得可见。对方程求平方后，检查初始方程中的每个答案，因为平方可以添加解。

反函数：选择最佳答案

正弦在整条线上没有反转，因为多个输入产生相同的输出。为了定义反正弦，我们将角度限制为 $[-90°,90°]$。在此范围内，$[-1,1]$的每个值仅出现一次。

反函数	禁止	主要输出
$\arcsin y$	$-1\le y\le1$	$[-90°,90°]$
$\arccos y$	$-1\le y\le1$	$[0°,180°]$
$\arctan y$	任何真实的	$(-90°,90°)$

因此，$\arcsin(1/2)=30°$，但方程$\operatorname{sen} x=1/2$有无穷多个解。逆提供了主要价值，用于建立家庭。 $\arcsin$ 也不意味着 $1/\operatorname{sen}$：这个乘法逆元是余割。

为了获得$\arcsin(\operatorname{sen}150°)$，我们首先计算$\operatorname{sen}150°=1/2$。主要输出是$30°$，而不是$150°$。

在日常生活中

**摩天轮的舱室什么时候到达？**问摩天轮的舱室何时到达一定高度，就是求解正弦方程。
潮汐。 高潮和低潮的时间来自三角方程，并以大约 12 小时 25 分钟的周期重复。
日光。 一年中恰好有 12 小时光照的日子（春分点）是周期方程的解。

机舱到达一定高度的时刻是正弦方程的解。

练习

在打开解决方案之前，请尝试在笔记本中解决该问题。输入练习1和2； 3和4，用于练习； 5和6，用于加深。

1。将 $\cos x=1/2$ 解为 $[0°,360°)$。

参见分辨率 1

$60°$和$300°$，因为它们是两个水平坐标点$1/2$。

2。将 $\tan x=-1$ 解为 $[0°,360°)$。

参见分辨率 2

$135°$ 和 $315°$，相差 $180°$。

3。以弧度形式给出 $\operatorname{sen} x=0$ 的所有实数解。

参见分辨率 3

$x=k\pi$，其中$k$整数。它们是水平轴两个端点的点。

4。将 $\operatorname{sen}(2x)=0$ 解为 $[0°,360°)$。

参见分辨率 4

$2x=180°k$，然后 $x=90°k$。范围：$0°$、$90°$、$180°$ 和 $270°$。

5。计算 $\arccos(-1/2)$（以度为单位）。

参见分辨率 5

$120°$，位于主轨道$[0°,180°]$中。

6。将 $2\cos^2x-1=0$ 解为 $[0°,360°)$。

参见分辨率 6

$\cos^2x=1/2$，然后 $\cos x=\pm\sqrt2/2$。解：$45°$、$135°$、$225°$ 和 $315°$。

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