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キャビンはいつ同じ高さに達しますか?

$\operatorname{sen} x=1/2$ を探すことは、キャビンが $1/2$ の高さでどの位置にあるかを尋ねることです。水平線は 2 つの点でサイクルを切り取ります。1 つは第 1 象限に、もう 1 つは第 2 象限にあります。 1ターンでは$30°$と$150°$になります。

この章では、主な例で度を使用しています。 $\pi$と表示された場合、角度はラジアン単位で表示されます。

デモ: 2 つの応答ファミリー

$\alpha$と$180°-\alpha$の点は同じ高さになります。また、フルターンはポイントを維持します。水平線は最大 2 点で円を切るため、これらはすべて可能性があります。ロゴ：

$$\operatorname{sen} x=\operatorname{sen}\alpha\iff \begin{cases} x=\alpha+360°k,\ \text{ou}\\ x=180°-\alpha+360°k. \end{cases}$$

コサインの場合、垂直線は点 $\alpha$ と $-\alpha$ を示します。

$$\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+360°k.$$

接線の場合、反対方向は同じ座標商を持ちます。

$$\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+180°k,$$

定義された接線を使用します。ここで、$k$ は整数です。ラジアンを使用する場合は、$360°$ を $2\pi$ に、$180°$ を $\pi$ に変更します。

範囲を指定した例

$\operatorname{sen} x=1/2$を$0°\le x<720°$に解きます。最初のファミリーからは $30°$ と $390°$ が生じます。 2 番目の $150°$ と $510°$。休憩は 2 周可能です。完全な回答は範囲の端を尊重します。

要求されたサインまたはコサインの値が $[-1,1]$ の範囲外である場合、実際の解決策はありません。例えば$\cos x=2$は不可です。

服を変える方程式

$2\operatorname{sen}^2x-\operatorname{sen} x=0$を考えてみましょう。 $\operatorname{sen} x$ をハイライト:

$$\operatorname{sen} x(2\operatorname{sen} x-1)=0.$$

少なくとも 1 つの因子がゼロの場合、積はゼロになります。つまり、$\operatorname{sen} x=0$ または $\operatorname{sen} x=1/2$ になります。 $[0°,360°)$ では、解は $0°$、$30°$、$150°$、$180°$ になります。

最初から方程式を $\operatorname{sen} x$ で割ると、ゼロ正弦解が失われます。ファクタリングは可能性を可視化します。方程式を二乗した後、二乗すると解が追加される可能性があるため、最初の方程式の各答えを確認します。

逆関数: 上位の答えを選択してください

正弦波は、複数の入力が同じ出力を生成するため、ライン全体で反転を持ちません。 アークサインを定義するには、角度を$[-90°,90°]$に制限します。この範囲では、$[-1,1]$ の各値は 1 回だけ現れます。

逆関数 禁止 メイン出力
$\arcsin y$ $-1\le y\le1$ $[-90°,90°]$
$\arccos y$ $-1\le y\le1$ $[0°,180°]$
$\arctan y$ 本物の $(-90°,90°)$

したがって、$\arcsin(1/2)=30°$ ですが、方程式 $\operatorname{sen} x=1/2$ には無限に多くの解があります。逆関数は、ファミリーを構築するために使用される主な値を提供します。 $\arcsin$ は $1/\operatorname{sen}$ を意味するわけでもありません。この逆乗算はコセカントです。

$\arcsin(\operatorname{sen}150°)$ を取得するには、まず $\operatorname{sen}150°=1/2$ を計算します。メイン出力は $150°$ ではなく $30°$ です。

日常生活での応用

  • 車内はいつそこに到着しますか? 観覧車の車内が特定の高さにいつ達するかを問うことは、正弦方程式を解くことになります。
  • 潮汐。 満潮と干潮の時刻は三角方程式に基づいて計算され、約 12 時 25 分の周期で繰り返されます。
  • 夏時間。 一年のうちでちょうど 12 時間の光がある日数 (春分点) は、周期方程式の解です。
キャビンが高さに達する瞬間は、正弦方程式の解です。

練習問題

ソリューションを開く前に、ノートブックで問題を解いてみてください。演習 1 と 2 が入力されています。 3 と 4、練習用。 5と6、深めに。

1. $\cos x=1/2$ を $[0°,360°)$ に解きます。

解像度 1 を参照

$60°$ と $300°$ は、2 つの水平座標点 $1/2$ です。

2. $\tan x=-1$ を $[0°,360°)$ に解きます。

解像度 2 を参照

$135°$ と $315°$、$180°$ によって異なります。

3. $\operatorname{sen} x=0$ の実数解をすべてラジアンで与えます。

解像度 3 を参照

$x=k\pi$、$k$ の整数。これらは、横軸の 2 つの端にある点です。

4. $\operatorname{sen}(2x)=0$ を $[0°,360°)$ に解きます。

解像度 4 を参照

$2x=180°k$、$x=90°k$の順です。範囲: $0°$、$90°$、$180°$、および $270°$。

5. $\arccos(-1/2)$ を度単位で計算します。

解像度 5 を参照

メイントラック $[0°,180°]$ にある $120°$。

6. $2\cos^2x-1=0$ を $[0°,360°)$ に解きます。

解像度 6 を参照

$\cos^2x=1/2$、$\cos x=\pm\sqrt2/2$の順です。解決策: $45°$、$135°$、$225°$、および $315°$。

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