インタラクティブ ブック内: すべてのデモンストレーションと演習を含む第 X 章を完了する.

堤防から見た橋

2 つの点 A と B は川の同じ土手上にあり、既知の距離だけ離れています。点Cは対岸にあります。 A と B の角度を測定することで、交わることなく AC と BC を計算できます。形成される三角形には直角がない場合があります。

角を$A,B,C$、対辺を$a,b,c$とします。常に$A+B+C=180°$。非縮退三角形の各辺は正であり、各辺は他の 2 つの辺の合計よりも小さくなります。

余弦の法則のデモンストレーション

Aを原点、Bを$(c,0)$、Cを$(b\cos A,b\operatorname{sen} A)$に配置します。サイドBCは$a$を計測します。ピタゴラスに由来する 2 点間の距離によって次のようになります。

$$\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\operatorname{sen} A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\operatorname{sen}^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}$$

C の水平座標が負になるため、この式は $A$ 鈍角にも当てはまります。 $A=90°$ の場合、コサイン項はゼロとなり、ピタゴラスが再び見つかります。

たとえば、$b=5$、$c=7$、および $A=60°$ の場合、$a^2=25+49-70/2=39$、次に $a=\sqrt{39}$ があります。

面積公式のデモンストレーション

辺に対する高さ $c$ は $b\operatorname{sen} A$ になります。 $A$ が鈍角の場合、高さは底辺の延長線上にあり、正弦は正のままです。したがって、領域 $K$ は次のようになります。

$$K=\frac{bc\operatorname{sen} A}{2}.$$

他の辺のペアを選択すると、$K=ac\operatorname{sen} B/2=ab\operatorname{sen} C/2$ も得られます。式を等価にし、正の $abc/2$ で割ると、次の結果が得られます。

$$\frac{\operatorname{sen} A}{a}=\frac{\operatorname{sen} B}{b}=\frac{\operatorname{sen} C}{c}.$$

反転すると、 次のようなサインの法則にたどり着きます。

$$\frac a{\operatorname{sen} A}=\frac b{\operatorname{sen} B}=\frac c{\operatorname{sen} C}.$$

3 つの頂点を通過する円の半径を $R$ とすると、$A$ の反対側の弦の長さは $a=2R\operatorname{sen} A$ になります。これは、2 つの半径を持つ三角形を半分に分割した結果です。$A$ 鈍角の場合は、同じ正弦の補角を使用します。したがって、上記の公比は$2R$、$K=abc/(4R)$となります。

川を渡らずに解ける

$AB=c=20$ m、測定された角度が $A=45°$ と $B=60°$ の場合、$C=75°$ になります。正弦の法則により、次のようになります。

$$\begin{aligned} b=AC&=\frac{20\operatorname{sen}60°}{\operatorname{sen}75°}\\ &=\frac{40\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2}\text{ m}. \end{aligned}$$

これは約 17,93 m です。 $a=BC$側は$20\operatorname{sen}45°/\operatorname{sen}75°$、約14,64mです。この対策により、水に入らずに横断を計画することができます。

どのような情報があれば十分でしょうか?

2 つの角度と 1 つの辺がある場合、3 番目の角度を取得し、正弦の法則を使用します。 2 つの辺とそれらの間の角度については、まず余弦の法則を使用します。有効な 3 辺の場合、コサインを分離し、逆関数で角度を取得します。

2 つの側面とその間にない角度には注意が必要です。たとえば、$A=30°$、$a=5$、および $b=8$ の場合、正弦の法則により $\operatorname{sen} B=4/5$ が得られます。 $B\approx53{,}13°$ または $B\approx126{,}87°$ の 2 つの選択肢があります。どちらもプラスの 3 番目の角度を残します。したがって、可能な三角形は 2 つあります。このタイプの他のデータでは、三角形が 1 つまたはまったく与えられない場合があります。

上級ワークショップ：特別措置

その半周は$s=(a+b+c)/2$です。面積はヘロンの公式を使用して計算することもできます。

$$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$

これを実証するには、$K=bc\operatorname{sen} A/2$ で $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$ と $\operatorname{sen}^2A=1-\cos^2A$ を使用します。このような：

$$\begin{aligned} 16K^2&=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ &=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)\\ &=(a+b+c)(b+c-a)\\ &\quad\cdot(a+b-c)(a-b+c)\\ &=16s(s-a)(s-b)(s-c). \end{aligned}$$

面積がプラスなので、プラスの根をとります。高さは$h_a=2K/a$、$h_b=2K/b$、$h_c=2K/c$です。

内接円は三辺に接しています。その中心はそれらから同じ距離$r$にあります。高さ$r$の三角形を3等分すると$K=(a+b+c)r/2=rs$となり、したがって$r=K/s$となります。

頂点と反対側の中央を結ぶのが中央線です。その測定値は次のとおりです。

$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$

これを実証するには、基底の中点を原点に、端を $(-a/2,0)$ と $(a/2,0)$ に、頂点を $(u,v)$ に配置します。二乗距離式を追加します: $b^2+c^2=2(u^2+v^2)+a^2/2$。 $u^2+v^2=m_a^2$として、式が得られます。

内側の角の二等分線は角度を半分に分割します。長さが $t_a$ の場合、次のようになります。

$$t_a=\frac{2bc\cos(A/2)}{b+c}.$$

実際、角の二等分線 は三角形を 2 つの領域 $ct_a\operatorname{sen}(A/2)/2$ と $bt_a\operatorname{sen}(A/2)/2$ に分割します。合計は$bc\operatorname{sen} A/2$です。 $\operatorname{sen} A=2\operatorname{sen}(A/2)\cos(A/2)$ を置き換えてプラスの要素をキャンセルすると、次の式が得られます。

これらのツールをすべて一度に覚える必要はありません。図を選択し、知っていることを特定し、選択した式が適用される理由を説明してください。

日常生活での応用

  • ボート間の距離。 同じ港から異なる方向に出発する 2 隻のボート: 余弦の法則により、ボート間の距離が求められます。
  • 土地。 ヘロンの公式は、3 辺のみを測定した三角形の土地の面積を求めます。
  • ロボット アーム。 ロボットまたは義足の「肘」の角度は、余弦の法則を使用して計算されます。
余弦の法則に基づく、同じ港を出港する 2 隻のボート間の距離。

練習問題

ソリューションを開く前に、ノートブックで問題を解いてみてください。演習 1 と 2 が入力されています。 3 と 4、練習用。 5と6、深めに。

1. 2 辺の長さは 6 と 8 cm、それらの間の角度は $60°$ です。 3 番目の辺を計算します。

解像度 1 を参照

$a^2=36+64-2\cdot6\cdot8\cdot1/2=52$。ロゴ $a=2\sqrt{13}$ cm。

2. 辺が8cmと10cmの三角形の面積が$30°$を計算します。

解像度 2 を参照

$K=8\cdot10\cdot\operatorname{sen}30°/2=20$ cm²。

3. 三角形は $A=30°$、$B=45°$、$a=6$ cm です。 $C$と$b$を計算します。

解像度 3 を参照

$C=180°-30°-45°=105°$。正弦の法則により、$b=6(\sqrt2/2)/(1/2)=6\sqrt2$ cm。

4. 三角形の辺は 5、5、6 cm です。面積、辺に対する高さ6、内接半径を計算します。

解像度 4 を参照

$s=8$cm。ヘロン作、$K=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12$ cm²。高さは$2\cdot12/6=4$cmです。内接半径は$12/8=1{,}5$cmです。

5. 辺が 5、5、6 cm の三角形の辺 6 cm に対する中央値を計算します。

解像度 5 を参照

$m=\tfrac12\sqrt{2\cdot25+2\cdot25-36}=\tfrac12\sqrt{64}=4$cm。この二等辺三角形では、この中央値も身長と角の二等分線になります。

6. $A=30°$、$a=4$、$b=10$ の場合、三角形はありますか?

解像度 6 を参照

いいえ、正弦の法則では $\operatorname{sen} B=b\operatorname{sen} A/a=10\cdot(1/2)/4=1{,}25$ が必要になりますが、実際の角度では不可能です。

書籍索引 · ← 前の章 · 最終レビュー→