3 つの商、3 つのドメイン

逆関数は循環族を拡張します。

$$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\qquad \sec x=\frac1{\cos x},\qquad\csc x=\frac1{\sin x}.$$
関数 対象外ポイント 画像 基礎期
$\cot x$ $x=k\pi$ $\mathbb R$ $\pi$
$\sec x$ $x=\pi/2+k\pi$ $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ $2\pi$
$\csc x$ $x=k\pi$ $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ $2\pi$

テーブル全体では $k\in\mathbb Z$。コタンジェントはドメイン全体で $1/\tan x$ によって定義されていません。$x=\pi/2$ では、コタンジェントは 0 の価値がありますが、タンジェントは存在しません。 ID $\cot x=1/\tan x$ では、両方の式が存在する必要があります。

定義によるデモンストレーション

$|\cos x|\le1$ と同様、セカント領域ではゼロではありません $|1/\cos x|\ge1$。これはセカント画像の制限を証明します。同じ議論が余割にも当てはまります。サインとコサインは$[-1,1]$を通過するため、許容値はすべて満たされます。

サインパリティとコサインパリティを使用する:

$$\cot(-x)=-\cot x,\quad\sec(-x)=\sec x,\quad\csc(-x)=-\csc x.$$

コタンジェントとコセカントは奇数です。セカントは偶数です。半回転するとコタンジェントの商は維持されますが、2 つの逆数の符号が変わります。したがって、その基本的な周期は表に示されている周期となります。

グラフのスケッチ方法

コタンジェントは、各分岐 $(k\pi,(k+1)\pi)$ で無制限の正の値から無制限の負の値まで減少します。 $\pi/2+k\pi$にリセットされます。

セカントの場合は、コサイン グラフを使用します。値が 1 または $-1$ の場合、逆数は同じ値になります。コサインがゼロに近づくと、セカントの大きさが増加します。その分岐は $-1

コセカントは正弦から同じ方法で構築されます。その垂直方向の漸近線は正弦のゼロです。セカントの値はコサインのゼロです。

完全な計算

$x=\pi/6$、$\sin x=1/2$、$\cos x=\sqrt3/2$にあります。それから：

$$\cot x=\sqrt3,\quad\sec x=\frac{2\sqrt3}{3},\quad\csc x=2.$$

日常生活での応用

  • 屋根 ピッチ $\alpha$、半幅 $d$ の屋根の垂木の寸法は $d\sec\alpha$ です。
  • スロープ 勾配 $\alpha$ で $h$ に上がるスロープの長さは $h\operatorname{cossec}\alpha$ です。
  • 影。 太陽が高さ $\alpha$ にあるとき、高さ $h$ の棒は影 $h\operatorname{cotg}\alpha$ を落とします。
スロープの長さ: 高さとスロープのコセカントの積。

決意を持って練習する

1. $\cot(\pi/2)$、$\sec\pi$、$\csc(3\pi/2)$を計算します。

解像度確認1

値はそれぞれ$0$、$-1$、$-1$となります。

2. 方程式 $\sec x=1/2$ には実際の解がありますか?

解像度確認2

いいえ: セカント領域では、その係数は少なくとも 1 です。

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