Antes de falar em seno ou cosseno, precisamos saber medir um pedaço de circunferência. Há duas réguas para isso: o grau, herdado dos babilônios, e o radiano, que mede o arco com o próprio raio.

A história

A divisão da circunferência em 360 partes vem da astronomia da Mesopotâmia, que contava em base 60 e acompanhava o Sol, que percorre o céu em cerca de 360 dias. No século II a.C., Hiparco de Niceia adotou os 360 graus nas suas tabelas de cordas, e Ptolomeu, no Almagesto (c. 150 d.C.), dividiu cada grau em 60 minutos e cada minuto em 60 segundos — as partes minutae primae e secundae que deram nome ao minuto e ao segundo.

A ideia de medir um arco pelo comprimento, tomando o raio como unidade, é bem mais recente. O inglês Roger Cotes percebeu em 1714 que essa era a unidade “natural” dos ângulos, e Leonhard Euler a usou sistematicamente na Introductio in analysin infinitorum (1748), trabalhando num círculo de raio 1. A palavra radiano só apareceu impressa em 1873, em questões de exame preparadas pelo engenheiro James Thomson, irmão de Lord Kelvin.

Hiparco de Niceia (c. 190–120 a.C.), representação artística posterior. Suas tabelas de cordas já usavam os 360 graus.
Hiparco de Niceia (c. 190–120 a.C.), representação artística posterior. Suas tabelas de cordas já usavam os 360 graus.William Henry Smyth · Wikimedia Commons · Domínio público
  1. c. 1800 a.C.
    Os babilônios fazem as contas em base 60, herança que ficou nos 60 minutos e 60 segundos.
  2. séc. II a.C.
    Hiparco usa os 360 graus nas primeiras tábuas de cordas.
  3. c. 150
    Ptolomeu, no Almagesto, divide o grau em minutos e segundos.
  4. 1714
    Roger Cotes percebe que o raio é a unidade natural dos ângulos.
  5. 1748
    Euler trabalha num círculo de raio 1 na Introductio.
  6. 1873
    A palavra radiano aparece impressa, em provas de James Thomson.

As palavras. Trigonometria junta o grego trígōnon, “triângulo”, e métron, “medida”. Ptolomeu chamava cada uma das 360 partes da circunferência de moîra (μοῖρα, “porção”); a sexagésima parte de uma moîra era o prôton hexēkostón, “primeira sexagésima”, e a sexagésima desta, o deúteron hexēkostón, “segunda sexagésima”. Os tradutores latinos verteram esses nomes por gradus (“degrau”), pars minuta prima (“primeira parte miúda”) e pars minuta secunda — e daí vieram, encurtados, o grau, o minuto e o segundo.

Português Inglês Latim Grego de Ptolomeu
grau degree gradus moîra
minuto minute pars minuta prima prôton hexēkostón
segundo second pars minuta secunda deúteron hexēkostón

Os sinais $^\circ$, $'$ e $''$ demoraram a se fixar. Durante o século XVI, cada autor escrevia graus, minutos e segundos à sua maneira: há formas diferentes num calendário de Regiomontanus (1473), na Arithmetica practica de Oronce Finé (1535), nos livros de aritmética de Gemma Frisius (1539) e no De nova stella de Tycho Brahe (1573), sobre a estrela nova que ele observou em 1572.

Fontes: Roger Cotes (MacTutor) · Hiparco (MacTutor) · Ptolomeu (MacTutor) · F. Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. II (1929).

No dia a dia

  • Navegação e mapas. Latitudes e longitudes são dadas em graus, minutos e segundos: $23^\circ 33'$ S é a latitude aproximada de São Paulo.
  • Rodas e engrenagens. Uma roda de raio $r$ que gira um ângulo de $\theta$ radianos faz um ponto da borda andar exatamente $\theta \cdot r$.
  • Calculadoras e computadores. As funções sin, cos e tan das linguagens de programação trabalham em radianos; nas calculadoras, o modo DEG usa graus e o modo RAD, radianos.

Fontes: Roger Cotes (MacTutor) · Hiparco (MacTutor) · Ptolomeu (MacTutor).

Latitudes em graus, minutos e segundos: escolha uma cidade e veja a distância até o equador.

Teoria

Arcos de circunferência

DefiniçãoArco de circunferência

Dois pontos distintos $A$ e $B$ de uma circunferência a dividem em duas partes. Cada uma dessas partes, incluindo $A$ e $B$, é um arco de circunferência $\overset{\frown}{AB}$.

Se $A$ e $B$ coincidem, eles também determinam dois arcos: um deles é o próprio ponto, chamado arco nulo; o outro é a circunferência inteira, chamada arco de uma volta.

À esquerda, os dois arcos de extremidades $A$ e $B$; à direita, $A = B$ determina o arco nulo e o arco de uma volta.

Medida de um arco

Para comparar os “tamanhos” de dois arcos $\overset{\frown}{AB}$ e $\overset{\frown}{CD}$, precisamos de um método para medir arcos.

DefiniçãoMedida de um arco

A medida de um arco $\overset{\frown}{AB}$ em relação a um arco unitário $u$ (não nulo e de mesmo raio que $\overset{\frown}{AB}$) é o número real que exprime quantas vezes o arco $u$ cabe no arco $\overset{\frown}{AB}$.

Se $u$ cabe 6 vezes em $\overset{\frown}{AB}$, escrevemos $\overset{\frown}{AB} = 6 \cdot u$, e a medida de $\overset{\frown}{AB}$ é 6.

O arco unitário $u$ cabe 6 vezes no arco $\overset{\frown}{AB}$.

Unidades: grau e radiano

Se cada pessoa escolhesse a sua unidade $u$, o mesmo arco teria medidas diferentes. Por isso usamos apenas duas unidades de arco.

DefiniçãoGrau e radiano

  • Grau (símbolo $^\circ$) é o arco unitário igual a $\dfrac{1}{360}$ da circunferência que contém o arco medido.
  • Radiano (símbolo rad) é o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco medido.

Dizer que $\overset{\frown}{AB}$ mede 1 rad significa que, “esticando” o arco, obtemos um segmento de comprimento igual ao raio.

Mova o controle do ângulo. Os raios tracejados marcam 1 rad, 2 rad, 3 rad…: o raio cabe pouco mais de 6 vezes na circunferência. Mudar o raio não muda a medida $\alpha = \ell / r$.

Quantos radianos tem uma circunferência?

É evidente que a circunferência mede $360^\circ$. Quantos radianos ela mede já não é tão óbvio. Uma construção dá a ideia:

  1. Numa circunferência de centro $O$ e raio $r$, inscrevemos um hexágono regular $ABCDEF$. Cada lado mede $r$: $\overline{AB} = \overline{BC} = \cdots = \overline{FA} = r$.
  2. A circunferência fica dividida em 6 arcos iguais, $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \cdots = \overset{\frown}{FA}$. Como o arco é sempre mais comprido que a corda, cada um desses arcos mede mais que 1 rad.
  3. Em cada um deles “cabe” 1 rad — $\overset{\frown}{AB'} = \overset{\frown}{BC'} = \cdots = \overset{\frown}{FA'} = 1$ rad — e ainda sobra uma fração de radiano.
  4. Logo o radiano cabe 6 vezes na circunferência, e ainda sobra a soma dessas seis “sobras”.
Cada lado do hexágono regular inscrito mede $r$; o arco correspondente é maior que a corda, então mede um pouco mais que 1 rad (até $B'$, $C'$, …).

Mais precisamente, demonstra-se que a circunferência mede $6{,}283185\ldots$ rad. Esse número é $2\pi$, em que $\pi = 3{,}14159\ldots$ é a razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro: o comprimento é $2\pi r$, e o raio cabe nele exatamente $2\pi$ vezes.

ResumoConversão de unidades

$$360^\circ \;\longleftrightarrow\; 2\pi \text{ rad} \qquad\qquad 180^\circ \;\longleftrightarrow\; \pi \text{ rad}$$

Para converter, basta uma regra de três a partir de $180^\circ \leftrightarrow \pi$ rad:

$$x \text{ (rad)} = \frac{\pi}{180} \cdot g \text{ (graus)} \qquad\qquad g \text{ (graus)} = \frac{180}{\pi} \cdot x \text{ (rad)}.$$

Em particular, $1 \text{ rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ 17' 44''$.

Graus $0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $90^\circ$ $180^\circ$ $270^\circ$ $360^\circ$
Radianos $0$ $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\pi$ $\dfrac{3\pi}{2}$ $2\pi$

AtençãoMinutos e segundos

O grau se divide em $60'$ (minutos) e o minuto em $60''$ (segundos): $1^\circ = 60'$ e $1' = 60''$. Assim, $30' = 0{,}5^\circ$. Para converter um arco como $22^\circ 30'$ em radianos, escreva tudo na menor unidade ($1350'$) e compare com $180^\circ = 10\,800'$.

Os exercícios desta seção são os de números 1 a 10 da lista do capítulo.