Euler's Eyes
2026-10-28
『解析教程』
十八世紀の半ば、微積分を学ぼうとする人はひとつの問題にぶつかった。ニュートンとライプニッツの発明はまだ七十年しかたっておらず、その成果は学術誌の論文や手紙、ラテン語やフランス語や英語で書かれた本のなかに、ばらばらの記法で散らばっていた。唯一有名な教科書、ロピタル侯爵の 1696 年の『無限小解析』は、微分法しか扱っていなかった。学生を代数から微分方程式まで一歩ずつ導いてくれる本はなかったのである。
アニェージの『解析教程』こそが、その本だった。
二巻四部
全体はおよそ千ページあり、四つの部に分かれている。
- 有限量の解析（第 I 巻、1748 年）：代数、方程式の解法、解析幾何、円錐曲線とそのほかの曲線、そして「方程式の作図」、すなわち図形を使って方程式を解く方法。ヴェルシエラが登場するのはここである。
- 微分法（第 II 巻、1749 年）：導関数、接線、極大、極小、変曲点。
- 積分法：積分、面積、体積、曲線の長さ、級数。曲線の下の面積を参照。
- 接線の逆方法：今日微分方程式と呼ばれるもの。
アニェージは自分の発見を発表しようとしたのではない。この本の価値は構成にある。どの主題も、それが依存する事柄のあとに置かれ、どの方法にも解いてみせた例がたくさんついている。そして微積分はすべて、$dx$ と $\int$ を使うライプニッツの記法で書かれている。のちにもっとも実用的だとわかる記法である。
定規とコンパスで方程式を解く
本のなかでもっとも古い部分は、いまでは消えてしまった当時の習慣を伝えている。方程式を計算で解くだけでなく、数学者たちは解を作図すること、つまり線分として描くことを好んだのである。
いちばん簡単な例は方程式 $x^2 = ab$ で、$a$ と $b$ は与えられた線分である。$a$ と $b$ を一直線上につなげて置き、全体の線分 $a + b$ を直径とする半円を描く。$a$ と $b$ の境目の点から半円まで垂線を立てる。この垂線の長さ $h$ が方程式の解で、$h^2 = ab$ となる。
なぜだろうか。直径の両端と半円上の点がつくる三角形は直角三角形である（半円に内接しているから）。そして直角三角形の高さは斜辺を二つに分け、その二つの長さの積は高さの二乗に等しい。アニェージはもっとずっと複雑な場合、たとえば二つの円錐曲線の交わりで作図する三次や四次の方程式も扱っている。
異例の反響
1749 年、パリ科学アカデミーの委員会がこの本を審査し、この主題についてこれまでに書かれたなかでもっとも完全で、もっともよく構成された論考だと判断した。第二巻は 1775 年にシャルル・ボシュの補足つきでフランス語に訳された。ケンブリッジの教授ジョン・コルソンによる英訳は 1801 年に出た。
練習：相乗平均
上の作図で $h^2 = ab$ となることを証明せよ。
半円上の点を $C$、垂線の足を $D$ とする。中心は直径の中点にあり、半径は $r = \frac{a + b}{2}$ である。$D$ から中心までの距離は $\left|\frac{a+b}{2} - a\right| = \frac{|b - a|}{2}$ である。中心、$D$、$C$ のつくる三角形で三平方の定理を使うと
$$h^2 = r^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2 - (b-a)^2}{4} = \frac{4ab}{4} = ab.$$線分 $h = \sqrt{ab}$ は $a$ と $b$ の相乗平均である。
練習：平方根の作図
定規とコンパス、そして長さ 1 の線分だけを使って、この作図で長さ $\sqrt{7}$ の線分を描け。
$a = 1$、$b = 7$ とする。長さ 8 の線分を、一方の端から 1 の点で分ける。直径 8 の半円を描き、分点で垂線を立てる。その高さは $h = \sqrt{1 \cdot 7} = \sqrt{7}$ である。同じ方法で、作図可能な数の平方根はどれでも描ける。
出典： Maria Gaetana Agnesi、Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana、全 2 巻（1748–1749） · Guillaume de L’Hôpital、Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes（1696） · Maria Gaetana Agnesi、Traités élémentaires de calcul différentiel et de calcul intégral、P. T. d’Antelmy 訳、C. Bossut 注（1775） · Massimo Mazzotti、The World of Maria Gaetana Agnesi, Mathematician of God（2007）。