Euler's Eyes
2026-10-19
対称性: 1 つのテーブルがラウンド全体を担当します
インタラクティブ ブック内: すべてのデモンストレーションと演習を含む第 4 章を完了.
ホイールミラー
第 1 象限に点を描き、その反射を第 2 象限に描きます。高さは同じですが、水平位置で符号が変わります。対称性を使用すると、第 1 象限だけを知って回転全体の値を計算できます。
$\alpha$が$0°$と$90°$の間にある場合、対応点は$(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)$となります。それを軸と中心に反映させます。
| 角度 | 座標 | 正弦 | 余弦 |
|---|---|---|---|
| $180°-\alpha$ | $(-\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)$ | $\operatorname{sen}\alpha$ | $-\cos\alpha$ |
| $180°+\alpha$ | $(-\cos\alpha,-\operatorname{sen}\alpha)$ | $-\operatorname{sen}\alpha$ | $-\cos\alpha$ |
| $360°-\alpha$ | $(\cos\alpha,-\operatorname{sen}\alpha)$ | $-\operatorname{sen}\alpha$ | $\cos\alpha$ |
デモ: リフレクションを読む
$150°=180°-30°$ 点は、縦軸上の $30°$ 点を反映したものです。この軸を反映すると、$(x,y)$ が $(-x,y)$ に変わります。したがって、2 つの新しい測定値を記憶する必要はありません。
$$\operatorname{sen}150°=\operatorname{sen}30°=\frac12,$$$$\cos150°=-\cos30°=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
タンジェントはこれらの測定値の商です。したがって、$150°$ では $-1/\sqrt3=-\sqrt3/3$ になります。同じ理由で、表の各行が正当化されます。
サインマップ
第 1 象限では、サインとコサインが正になります。 2 番目では、正のサインと負のコサインです。 3番目では、両方とも否定的です。 4 番目は、負のサインと正のコサインです。 2 つの符号が同じ場合、タンジェントは正となり、異なる場合は負となります。
このルールを軸に四分円であるかのように適用しないでください。座標が 0 になり、一部の関数が存在しなくなります。
負のスピン、偶数関数と奇数関数
角度点 $\theta$ と $-\theta$ は水平軸上の反射です。したがって：
$$\cos(-\theta)=\cos\theta,\qquad \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}\theta.$$$f(-x)=f(x)$ の関数はパーです。 $f(-x)=-f(x)$ が付いているものは奇数です。コサインとセカントはペアです。サイン、タンジェント、コタンジェント、コセカントは奇数であり、常にそれぞれの領域内にあります。
高さと幅を交換する
直角三角形では、2 つの鋭角の合計は $90°$ になります。一方の反対側は他方に隣接します。このような：
$$\operatorname{sen}(90°-\alpha)=\cos\alpha,$$$$\cos(90°-\alpha)=\operatorname{sen}\alpha.$$
これがコサイン (補数のサイン) という名前の理由です。接線の場合、式が存在する場合は $\tan(90°-\alpha)=\cot\alpha$。ラジアンでは、$90°$、$180°$、および $360°$ を $\pi/2$、$\pi$、および $2\pi$ に置き換えます。
3 つの移動方法
$765°$ を調べるには、2 つのターンを削除します: $765°-720°=45°$。 $225°$を調べるには、$180°+45°$と書きます。最初に象限を特定し、次に基準角度、最後に関数の符号を特定します。この方法では、結果を図面で確認することができます。
日常生活での応用
- 風のバラ。 北東、北西、南西、南東は互いに反射し合います。方向 $45^\circ$ はわかっており、他の 3 つは符号を交換するだけです。
- 計算機。 $\cos 300^\circ$ を計算する前に、マシンは対称性を使用します: $\cos 300^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$。
- 時計の針。 7 h の針の位置は、中心に対する 1 h の位置を反映し、2 つの記号の座標が交換されます。
練習問題
ソリューションを開く前に、ノートブックで問題を解いてみてください。演習 1 と 2 が入力されています。 3 と 4、練習用。 5と6、深めに。
1. $\operatorname{sen}210°$を計算します。
解像度 1 を参照
$210°=180°+30°$。第 3 象限では、正弦は負になります: $-1/2$。
2. $\cos330°$を計算します。
解像度 2 を参照
$330°=360°-30°$。コサインは正です: $\sqrt3/2$。
3. $\tan135°$を計算します。
解像度 3 を参照
$135°=180°-45°$。接線は負であり、その係数は 1 です。結果$-1$。
4. $\operatorname{sen}(-\theta)+\operatorname{sen}\theta$ を簡略化します。
解像度 4 を参照
正弦が奇数です。合計は$-\operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}\theta=0$です。
5. $\cos765°$を計算します。
解像度 5 を参照
$720°$ を削除し、$45°$ を残します。結果は$\sqrt2/2$です。
6. $\operatorname{sen}20°=a$の場合は$a$を使用して$\cos70°$を書き込みます。
解像度 6 を参照
$70°=90°-20°$として$\cos70°=\operatorname{sen}20°=a$があります。