正接関数: 傾き、領域、グラフ

座標を比較する

第 1 象限では、$P=(\cos x,\sin x)$ を通過する半径の直線の傾きは、高さを水平変位で割った値に等しいです。この比率を分母がゼロでないすべての角度に拡張します。

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

ロゴ：

$$\operatorname{Dom}(\tan)=\mathbb R\setminus \left\{\frac\pi2+k\pi:k\in\mathbb Z\right\}.$$

画像は $\mathbb R$。接線は、象限 I および III では正であり、象限 II および IV では負です。そのゼロは $x=k\pi$.

半回転すると、2 つの座標の符号が変わります。

$$\tan(x+\pi)=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\tan x.$$

したがって、$\pi$ はピリオドです。正の期間 $T$ で $\tan0=0$ の値を繰り返すには、$\pi$ の正の倍数である必要があります。最小のものは$\pi$です。次の理由により、接線も奇数になります。

$$\tan(-x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x.$$

各区間 $(-\pi/2+k\pi,\pi/2+k\pi)$ では、正接は厳密に増加しています。垂直座標が相殺されずに水平座標がゼロに近づくと、商の大きさは際限なく増加します。

$x=\pi/2+k\pi$ の線は垂直漸近線です。それらはグラフ上の点ではありません。 $\pi/2$ には実際の値として「無限正接」はありません。関数がその入力で定義されていないだけです。

分岐は$(-\pi/4,-1)$、$(0,0)$、$(\pi/4,1)$を通過します。残りは $\pi$ の翻訳によって得られます。

$\tan x$ が存在する場合、等価 $\tan x\cos x=\sin x$ が成り立ちます。簡略化された積では、$x=\pi/2$ で正弦が定義されている場合でも、元の式を使用することはできません。

パーセンテージでの傾斜。 10% の傾斜を持つ道路には $\operatorname{tg}\alpha = 0{,}10$、つまり $\alpha \approx 5{,}7^\circ$ があります。
視野。 絞りが $90^\circ$ のカメラでは、3 m 離れたところに $2 \cdot 3\operatorname{tg} 45^\circ = 6$ m の幅が見えます。
接線が「爆発」する理由。 $90^\circ$ に近づくと、斜面が壁になります。1 メートル歩くごとに、ランプは無限に上昇する必要があります。

カメラから$d$の距離から見える幅は$2d\operatorname{tg}\beta$です。

1. $\tan(3\pi/4)$と$\tan(7\pi/4)$を計算します。

解像度確認1

どちらの場合も、モジュールは 1 であり、座標符号は反対です。どちらも$-1$の価値があります。

2. $g(x)=\tan(3x)$ の基本周期は何ですか?

解像度確認2

$\pi/3$。禁止点は$3x=\pi/2+k\pi$、または$x=\pi/6+k\pi/3$を満たす。

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