それ自体に適用される加算式

加算式の $b=a$ を置き換えます。

$$\sin2a=2\sin a\cos a,$$

$$\cos2a=\cos^2a-\sin^2a.$$

基本的な恒等式により、コサインには他の 2 つの形式が許可されます。

$$\cos2a=1-2\sin^2a=2\cos^2a-1.$$

選択は利用可能なデータによって異なります。サインのみがわかっている場合、最初の代替式はコサインの計算とその符号の選択を回避します。

接線が存在する場合:

$$\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}.$$

$\tan a$ のフォームには $\cos a\ne0$ と $1-\tan^2a\ne0$ が必要です。 $\tan2a$ が存在するすべてのケースをカバーしているわけではありません。

トリプルフォーミュラのデモンストレーション

$3a=2a+a$と書き込みます。正弦波の場合:

$$\begin{aligned} \sin3a&=\sin2a\cos a+\cos2a\sin a\\ &=2\sin a\cos^2a+(1-2\sin^2a)\sin a\\ &=2\sin a(1-\sin^2a)+\sin a-2\sin^3a\\ &=3\sin a-4\sin^3a. \end{aligned}$$

同様に、合計のコサインを展開し、$\sin^2a=1-\cos^2a$ を代入します。

$$\cos3a=4\cos^3a-3\cos a.$$

サインをコサインで割って $t=\tan a$ で単純化すると、次のようになります。

$$\tan3a=\frac{3t-t^3}{1-3t^2},$$

$\tan a$ と $1-3t^2\ne0$ が存在します。分母ゼロは式の中断に対応します。

既知の理由のある例

$\sin a=3/5$と$\cos a=4/5$の場合:

$$\sin2a=\frac{24}{25},\qquad\cos2a=\frac7{25},$$

$$\sin3a=\frac{117}{125},\qquad\cos3a=-\frac{44}{125}.$$

正のサインと負のコサインは、$3a$ の画像が第 2 象限にあることを示します。角度を掛けると符号が変わる場合があります。

日常生活での応用

  • 投げ。 投げの範囲は $\operatorname{sen} 2\theta$ に比例します。そのため、$30^\circ$ と $60^\circ$ は同じ場所に到着し、$45^\circ$ はさらに先に進みます。
  • 電力。 抵抗器の電力は $\operatorname{sen}^2\omega t = \frac{1 - \cos 2\omega t}{2}$ に比例します。抵抗は電圧の 2 倍の周波数、つまり 1 秒あたり 120 回振動します。
  • 3 つの角度。 角度を 3 つに分ける (三等分) と、$\cos 3a$ に登場するのと同じ 3 次の方程式が得られます。そのため、定規とコンパスを使って計算することはできません。
スポーツのダブル アーク: 範囲は $\operatorname{sen}2\theta$ に比例します。

決意を持って練習する

1. $\cos4a$ を $c=\cos a$ のみで表現します。

解像度確認1

$\cos4a=2\cos^22a-1=2(2c^2-1)^2-1=8c^4-8c^2+1$.

2 $\tan a=1/2$の場合は$\tan2a$を計算します。

解像度確認2

$\tan2a=2(1/2)/(1-1/4)=4/3$。関係する分母はゼロ以外です。

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