Euler's Eyes
2026-10-31
複素平面上の積分
十八世紀の終わり、オイラーとラプラスは、むずかしい実積分を大胆な技で計算していた。実変数を複素変数に置きかえ、計算をしてから実数に戻るのである。ラプラスはこれを「実から虚への移行」とよんだ。結果は合っていたが、この技がいつ正当なのかは誰にも言えなかった。この問いに答えるために、25 歳のコーシーは 1814 年、定積分についての論文をアカデミーに提出した。それが出版されたのは 1827 年で、しかもそれはほんの始まりにすぎなかった。
平面で微分できる関数
複素関数 $f(z)$（$z = x + iy$）は、$f = u + iv$ と書ける。ここで $u$ と $v$ は $x$ と $y$ の実関数である。$f$ が複素の意味で導関数をもつには、$u$ と $v$ がコーシー＝リーマンの方程式をみたさなければならない。
$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$この方程式はダランベールとオイラーにすでに現れていた。コーシーはそれを理論の中心にすえ、三十年後にリーマンはそれを出発点にした。$f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + i\,(2xy)$ では、$u_x = 2x = v_y$、$u_y = -2y = -v_x$ である。
積分定理
1825 年、コーシーは『虚数の限界のあいだでとった定積分についての論文』を出版した。平面上の点 $z_0$ から点 $z_1$ まで積分するには、二点を結ぶ道を選ばなければならない。中心となる定理は、道は関係ないというものである。ただし、一方の道を他方に変形するときに掃く領域で、関数が有限かつ連続でありつづけるかぎりにおいてである。別のいい方をすれば、やっかいな点のまわりをまわらない閉じた曲線にそった積分はゼロになる。
$$\oint f(z)\,dz = 0.$$もっとも重要な例は、この定理が使えない場合である。半径 1 の円にそって反時計回りに $\frac{1}{z}$ を積分しよう。$z = e^{it}$ とすると $dz = i e^{it}\,dt$ で、
$$\oint \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{i e^{it}}{e^{it}}\,dt = \int_0^{2\pi} i\,dt = 2\pi i.$$結果がゼロでないのは、円が $z = 0$ のまわりをまわっており、そこで $\frac{1}{z}$ が無限大になるからである。
留数
1826 年、コーシーは『数学演習』でこの計算をひとつの方法に変えた。留数計算である。点 $a$ の近くで関数が $\frac{R}{z - a}$ とよくふるまう部分との和のようにふるまうなら、数 $R$ を $f$ の $a$ における留数という。$a$ のまわりを一回まわる閉曲線では
$$\oint f(z)\,dz = 2\pi i \cdot R$$となり、そのような点をいくつもまわるなら、留数を足し合わせる。図では円を動かしたり大きくしたりできる。関数 $\frac{1}{1 + z^2}$ は $z = i$ と $z = -i$ で無限大になり、積分はこれらの点のうちどれが内側にあるかだけで決まる。
ある実積分
この方法を実積分で使ってみよう。
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}.$$$1 + z^2 = (z - i)(z + i)$ だから、$z = i$ の近くで関数はおよそ $\frac{1}{2i} \cdot \frac{1}{z - i}$ である。$i$ における留数は $\frac{1}{2i}$ だ。実軸上の $-R$ から $R$ までの線分と、上半平面の半径 $R$ の半円からなる閉じた道をとる。$R > 1$ なら、この道は点 $i$ だけのまわりをまわるので、
$$\int_{-R}^{R} \frac{dx}{1 + x^2} + \int_{\text{弧}} \frac{dz}{1 + z^2} = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi.$$弧の上では $|1 + z^2| \ge R^2 - 1$ で、弧の長さは $\pi R$ だから、弧の上の積分は高々 $\frac{\pi R}{R^2 - 1}$ で、これはゼロに向かう。残るのは
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = \pi$$である。$\arctan x$ を使っても同じ結果が得られるが、留数の方法は、原始関数が知られていない積分も同じやり方で片づける。
積分公式
1831 年、すでにトリノに亡命していたコーシーは次の一歩を踏み出した。積分公式である。$f$ が円の内部でよくふるまい、$a$ が内部の点なら、
$$f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{f(z)}{z - a}\,dz.$$境界での関数の値が、内部のすべての値を決める。この公式からコーシーは、複素の意味で微分できる関数はすべてべき級数をもち、その級数は、やっかいな点をひとつも含まない最大の円のなかで収束することを導いた。これで古い謎が解ける。級数 $\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$ は、関数が実軸全体でまったくなめらかなのに、$|x| < 1$ でしか収束しない。理由は実軸の外にある。原点から距離 1 のところにある点 $\pm i$ である。
演習：複素指数関数
$e^z = e^x \cos y + i\,e^x \sin y$ についてコーシー＝リーマンの方程式を確かめよ。
$u = e^x \cos y$、$v = e^x \sin y$。すると $u_x = e^x \cos y = v_y$、$u_y = -e^x \sin y = -v_x$ である。方程式は平面全体で成り立つ。指数関数はいたるところで微分でき、その級数 $1 + z + \frac{z^2}{2} + \cdots$ はすべての $z$ で収束する。やっかいな点がひとつもないからである。
演習：収束半径
$x = \frac{1}{2}$ と $x = 2$ について $1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$ の最初の項を足し、$\frac{1}{1 + x^2}$ と比べよ。
$x = \frac{1}{2}$ では $1 - 0.25 + 0.0625 - 0.015625 = 0.796875$ で、$\frac{1}{1.25} = 0.8$。級数は収束する。$x = 2$ では $1 - 4 + 16 - 64 = -51$ で、項は大きくなる一方だが、$\frac{1}{5} = 0.2$ である。コーシーの定理により、収束半径は原点から $\pm i$ までの距離、つまり 1 であり、$\frac{1}{2} < 1 < 2$ である。
出典： Augustin-Louis Cauchy、「Mémoire sur les intégrales définies」（1814、1827 年刊） · Augustin-Louis Cauchy、Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires（1825） · Augustin-Louis Cauchy、「Sur le calcul des résidus」、Exercices de mathématiques 1（1826） · Frank Smithies、Cauchy and the Creation of Complex Function Theory（1997） · ガウスのベッセル宛書簡、1811 年 12 月 18 日、Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel（1880）所収。