$x$ の三角関数を計算する式を導き出してみましょう。$x$ は第 1 象限の外にあり、$x$ を第 1 象限内の数値と関連付けてみましょう。目標は、$0$ と $\frac{\pi}{2}$ の間の実数の円関数を与えるテーブルから $\operatorname{sen} x$、$\cos x$、および $\operatorname{tg} x$ を知ることです。

$P$ をすべての象限にドラッグします。第 1 象限の点 $P'$ は、$P$ の対称点です。パネル上のサイン値とコサイン値を比較します。

歴史

三角関数の表は常に円の一部のみをカバーしており、アリヤバータのものは$0^\circ$から$90^\circ$までであり、その他の弧については天文学者は円の対称性を使用しました。欠けていたのは標識に関するルールでした。サインとコサインはセグメントの長さですが、常に正であり、各象限には個別の推論が必要でした。この変化は負の数 が幾何学的な意味を持つものとして受け入れられたことに伴って起こりました。 1629 で、 フランス人のアルベール・ ジラールは、幾何学において、否定的な解は「後退を示す」、つまり$-3$を歩く者は3を後退する、と書いた。これはまさに、サイクル内の点の座標に信号を与え、それとともに各象限の円関数に信号を与えるというアイデアです。次の世紀にオイラーは、記号の規則を私たちが使用する形式に整理しました。

  1. 628
    インドのブラフマグプタは、「負債」（ネガティブ）と「財産」（ポジティブ）を使って行動するためのルールを与えています。
  2. 1545
    カルダノでは今でも負の根をヌメリ フィクティ、つまり架空の数字と呼んでいます。
  3. 1629
    アルベール・ ジラール: 幾何学において、マイナスは「挫折を示す」。
  4. 1637
    座標を生み出すデカルトは幾何学を発表しています。
  5. 1748
    円周関数の符号をオイラーは4象限に整理します。

出典: ジラール (MacTutor) · 三角関数 (MacTutor)。

日常生活での応用

  • 計算機。 $\operatorname{sen} 1000^\circ$ を計算するには、マシンはまずターン ($1000^\circ - 720^\circ = 280^\circ$) を実行し、次にそれを第 1 象限: $\operatorname{sen} 280^\circ = -\operatorname{sen} 80^\circ$ に縮小します。
  • ナビゲーション。 10 km の方向に $225^\circ$ (南西、東から測定) に向かって歩くと、$10\cos 225^\circ \approx -7{,}07$ km 東に、$10\operatorname{sen} 225^\circ \approx -7{,}07$ km 北に移動します。標識には「西」と「南」と表示されます。
  • ゲーム。 $150^\circ$ を向いているキャラクターは、$(\cos 150^\circ, \operatorname{sen} 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ の方向、つまり左少し上の方向に歩きます。
どの象限のコースでも、コサイン記号とサイン記号は、ボートが東か西、北か南のどちらに向かっているかを示します。

理論

第2象限から第1象限へ

$x$と$\frac{\pi}{2} < x < \pi$が与えられたとき、$P$をその周期内の画像、$P'$を周期の点として正弦軸に関して$P$ と対称とします。反時計回りに $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{PA'} = \pi$; $\overset{\frown}{AP'} = \overset{\frown}{PA'}$ の場合は $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{AP'} = \pi$ が来るので、$\overset{\frown}{AP'} = \pi - x$ になります。

$P$ と $P'$ は縦軸が同じで横軸が反対なので、次のようになります。

性質第2象限

$$\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(\pi - x) \qquad \cos x = -\cos(\pi - x)$$

そして基本的な関係を通じて、

$$\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{\operatorname{sen}(\pi - x)}{-\cos(\pi - x)} = -\operatorname{tg}(\pi - x)$$$$\operatorname{cotg} x = -\operatorname{cotg}(\pi - x) \qquad \sec x = -\sec(\pi - x) \qquad \operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}(\pi - x).$$

例例

$$\operatorname{sen} 115^\circ = \operatorname{sen}(180^\circ - 115^\circ) = \operatorname{sen} 65^\circ \qquad \cos 130^\circ = -\cos(180^\circ - 130^\circ) = -\cos 50^\circ$$$$\operatorname{tg}\frac{2\pi}{3} = -\operatorname{tg}\left(\pi - \frac{2\pi}{3}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} \qquad \operatorname{cotg}\frac{4\pi}{5} = -\operatorname{cotg}\left(\pi - \frac{4\pi}{5}\right) = -\operatorname{cotg}\frac{\pi}{5}$$

第3象限から第1象限まで

$x$に$\pi < x < \frac{3\pi}{2}$が与えられたとき、$P$をその像、$P'$を$P$ の中心に対して対称な周期の点とします。反時計回りに$\overset{\frown}{AP} - \overset{\frown}{AP'} = \pi$、つまり$\overset{\frown}{AP'} = x - \pi$となります。

$P$ と $P'$ は横軸と縦軸が逆になります。

性質第3象限

$$\operatorname{sen} x = -\operatorname{sen}(x - \pi) \qquad \cos x = -\cos(x - \pi)$$$$\operatorname{tg} x = \frac{-\operatorname{sen}(x - \pi)}{-\cos(x - \pi)} = \operatorname{tg}(x - \pi)$$$$\operatorname{cotg} x = \operatorname{cotg}(x - \pi) \qquad \sec x = -\sec(x - \pi) \qquad \operatorname{cossec} x = -\operatorname{cossec}(x - \pi).$$

例例

$$\operatorname{sen} 210^\circ = -\operatorname{sen}(210^\circ - 180^\circ) = -\operatorname{sen} 30^\circ \qquad \cos 225^\circ = -\cos(225^\circ - 180^\circ) = -\cos 45^\circ$$$$\operatorname{tg}\frac{4\pi}{3} = \operatorname{tg}\left(\frac{4\pi}{3} - \pi\right) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} \qquad \sec\frac{7\pi}{6} = -\sec\left(\frac{7\pi}{6} - \pi\right) = -\sec\frac{\pi}{6}$$

第4象限から第1象限まで

$x$に$\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$が与えられたとき、$P$をその像、$P'$を$P$ のコサイン軸に対する対称周期の点とします。反時計回りに $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{PA} = 2\pi$; $\overset{\frown}{AP'} = \overset{\frown}{PA}$ の場合は $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{AP'} = 2\pi$ が来るので、$\overset{\frown}{AP'} = 2\pi - x$ になります。

$P$ と $P'$ は横軸が同じで、縦軸が逆になります。

性質第4象限

$$\operatorname{sen} x = -\operatorname{sen}(2\pi - x) \qquad \cos x = \cos(2\pi - x)$$$$\operatorname{tg} x = \frac{-\operatorname{sen}(2\pi - x)}{\cos(2\pi - x)} = -\operatorname{tg}(2\pi - x)$$$$\operatorname{cotg} x = -\operatorname{cotg}(2\pi - x) \qquad \sec x = \sec(2\pi - x) \qquad \operatorname{cossec} x = -\operatorname{cossec}(2\pi - x).$$

例例

$$\operatorname{sen} 280^\circ = -\operatorname{sen}(360^\circ - 280^\circ) = -\operatorname{sen} 80^\circ \qquad \cos 340^\circ = \cos(360^\circ - 340^\circ) = \cos 20^\circ$$$$\operatorname{tg}\frac{11\pi}{6} = -\operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} \qquad \operatorname{cossec}\frac{5\pi}{3} = -\operatorname{cossec}\left(2\pi - \frac{5\pi}{3}\right) = -\operatorname{cossec}\frac{\pi}{3}$$

まとめ経験則

  1. 円弧に複数のターンがある場合は、ターン全体を削除します ($360^\circ$ または $2\pi$ の倍数を加算または減算します)。
  2. 対応する第 1 象限の円弧を見つけます: $180^\circ - x$ (2 番目)、$x - 180^\circ$ (3 番目)、または $360^\circ - x$ (4 番目)。
  3. 関数の絶対値は同じです。その符号は$x$の象限にある関数の符号です。

このセクションの演習は [章リスト] の 117 番です(/jp/posts/basic/trigonometria/livro/cap04-reducao-ao-primeiro-quadrante/04-exercicios/).