Euler's Eyes
2026-10-31
コーシーの不等式
1821 年の『解析教程』は九つの注で終わる。本文に入れたくなかった結果を集めた、一種の付録である。不等式を扱う二つめの注には、数学オリンピックをめざす生徒なら誰でも知っている二つの宝石がある。
不等式
コーシーの定理は、任意の実数 $a_1, \ldots, a_n$ と $b_1, \ldots, b_n$ に対して
$$(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$$が成り立ち、等号は二つの列が比例するときにかぎる、というものである。
ラグランジュの恒等式による証明
コーシーは、すでにラグランジュにあった恒等式から出発した。二組の数なら、展開するだけでよい。
$$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 = a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 - 2a_1 b_1 a_2 b_2 = (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2.$$一般には、両辺の差は、すべての組 $i < j$ についての平方 $(a_i b_j - a_j b_i)^2$ の和になる。平方の和はけっして負にならず、それがゼロになるのは、すべての $a_i b_j - a_j b_i$ が消えるとき、つまり二つの列が比例するときだけである。証明終わり。
もうひとつ、1888 年のヘルマン・シュワルツによる証明がある。$t$ の多項式
$$p(t) = \sum_i (a_i t + b_i)^2 = \Big(\sum a_i^2\Big) t^2 + 2\Big(\sum a_i b_i\Big) t + \sum b_i^2$$は平方の和なので、けっして負にならない。だからその判別式は正になりえない：$4\left(\sum a_i b_i\right)^2 - 4 \sum a_i^2 \sum b_i^2 \le 0$。これがまさに不等式である。
平均、前へ、そして後ろへ
同じ注のなかで、コーシーは正の数の幾何平均がけっして算術平均を超えないことを証明した。
$$\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.$$証明は二方向の帰納法である。$n = 2$ については、
$$\left(\frac{x + y}{2}\right)^2 - xy = \left(\frac{x - y}{2}\right)^2 \ge 0$$に注意すればよい。
前へ：$n$ 個の数で成り立つなら、$2n$ 個でも成り立つ。$2n$ 個の数を半分ずつに分ける。それぞれの半分の積は高々 $A_1^n$ と $A_2^n$ である。ここで $A_1$、$A_2$ はそれぞれの半分の平均である。$n = 2$ の場合から $A_1 A_2 \le \left(\frac{A_1 + A_2}{2}\right)^2$ で、$\frac{A_1 + A_2}{2}$ は全体の平均である。こうして不等式は 2、4、8、16、… で成り立つ。
後ろへ：$N$ 個の数で成り立つなら、$N$ より小さい任意の $n$ でも成り立つ。平均 $A$ をもつ $x_1, \ldots, x_n$ が与えられたら、$A$ 自身を $N - n$ 個つけ加える。$N$ 個の数の平均はやはり $A$ で、$N$ 個についての不等式から
$$x_1 \cdots x_n \cdot A^{N-n} \le A^N, \quad\text{よって}\quad x_1 \cdots x_n \le A^n.$$どの $n$ も 2 のあるべき乗より小さいので、定理はすべての $n$ で成り立つ。
演習：3x + 4y の最大値
$x^2 + y^2 = 1$ のとき、$3x + 4y$ の最大値はいくつか。
コーシーの不等式により $(3x + 4y)^2 \le (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2) = 25$ だから、$3x + 4y \le 5$。等号には $(x, y)$ が $(3, 4)$ に比例することが必要で、$x = \frac{3}{5}$、$y = \frac{4}{5}$。たしかに $3 \cdot \frac{3}{5} + 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{25}{5} = 5$ である。
演習：9 を下回らない積
$a, b, c > 0$ に対して $(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 9$ を示せ。
二つの列 $(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})$ と $\left(\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{b}}, \frac{1}{\sqrt{c}}\right)$ にコーシーの不等式を使う。左辺は $(1 + 1 + 1)^2 = 9$ となり、右辺はちょうど $(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$ である。等号は $a = b = c$ のとき成り立つ。
出典： Augustin-Louis Cauchy、Cours d’analyse（1821）、注 II · J. Michael Steele、The Cauchy–Schwarz Master Class（2004） · Viktor Bunyakovsky、「Sur quelques inégalités concernant les intégrales ordinaires et les intégrales aux différences finies」、Mémoires de l’Académie de Saint-Pétersbourg（1859）。