Euler's Eyes
2026-10-20
変換: 新しい式の構築
インタラクティブ ブック内: すべてのデモンストレーションと演習を含む第 6 章を完了.
ターンを追加しても高さは追加されません
$30°$ の後に $30°$ を繰り返すと、結果は $60°$ になります。ただし$\operatorname{sen}30°+\operatorname{sen}30°=1$、一方$\operatorname{sen}60°=\sqrt3/2$。回転時に座標がどのように変化するかを調べる必要があります。
これは高度なステップです。文字ビーズがまだ新しい場合は、$75°$ の例に従い、大人と一緒にデモンストレーションに戻ります。
加算式のデモンストレーション
角度 $a$ の回転後、長さ 1 の水平ベクトルは $(\cos a,\operatorname{sen} a)$ を指します。これに垂直で長さ 1 の垂直ベクトルは $(-\operatorname{sen} a,\cos a)$ を指します。これは、最初の回転ベクトルに $90°$ を加えたものです。
この回転の前、角度点 $b$ は、サイズ $\cos b$ の水平変位とサイズ $\operatorname{sen} b$ の垂直変位の合計です。回転すると、長さと変位の合計が保持されます。 $a$ を回転した後の位置は次のようになります。
$$\begin{aligned} (\cos(a+b),\operatorname{sen}(a+b)) &=\cos b(\cos a,\operatorname{sen} a)\\ &\quad+\operatorname{sen} b(-\operatorname{sen} a,\cos a). \end{aligned}$$座標を比較すると、次のようになります。
$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b,$$$$\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen} a\cos b+\cos a\operatorname{sen} b.$$
$b$ を $-b$ に置き換え、パリティを使用すると、次のようになります。
$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b,$$$$\operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen} a\cos b-\cos a\operatorname{sen} b.$$
サインの式をコサインで割ってから $\cos a\cos b$ で割ると、次のようになります。
$$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}.$$この最後の式では、$a$ と $b$ の接線が存在し、最終分母がゼロではないことが必要です。
例: 新しい値
$75°=45°+30°$として:
$$\begin{aligned} \operatorname{sen}75°&=\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2} +\frac{\sqrt2}{2}\frac12\\ &=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \end{aligned}$$ダブルとトリプル
追加の式で $b=a$ を実行します。
$$\operatorname{sen}2a=2\operatorname{sen} a\cos a,$$$$\cos2a=\cos^2a-\operatorname{sen}^2a=1-2\operatorname{sen}^2a=2\cos^2a-1.$$
$\operatorname{sen}^2a+\cos^2a=1$ を使用すると、コサインの最初の形式が他の形式を反転します。接線の場合、項が存在する場合は $\tan2a=2\tan a/(1-\tan^2a)$。
$2a+a$ に加算を適用し、前の式を代入すると、$\operatorname{sen}3a=3\operatorname{sen} a-4\operatorname{sen}^3a$ と $\cos3a=4\cos^3a-3\cos a$ が生成されます。同じ考え方を繰り返すことで角度を増やすことができます。
角度を半分に分ける
$\cos2a$ の式で、$a$ を $\theta/2$ に置き換え、正方形を分離します。
$$\operatorname{sen}^2\frac\theta2=\frac{1-\cos\theta}{2},\qquad \cos^2\frac\theta2=\frac{1+\cos\theta}{2}.$$ルートを抽出する場合、符号は $\theta/2$ の象限に依存します。 $0<\theta<180°$ の場合、根は両方とも正になります。サインをコサインで割ると、次のようになります。
$$\tan\frac\theta2=\frac{\operatorname{sen}\theta}{1+\cos\theta}.$$このフォームには $1+\cos\theta\ne0$ が必要です。同等の形式 $(1-\cos\theta)/\operatorname{sen}\theta$ には引き続き $\operatorname{sen}\theta\ne0$ が必要です。
和を積に変換する
加算および減算の式を加算または減算します。次に、$u=a+b$ と $v=a-b$ を書き込み、$a=(u+v)/2$ と $b=(u-v)/2$ は次のようになります。
$$\operatorname{sen} u+\operatorname{sen} v=2\operatorname{sen}\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$$$\operatorname{sen} u-\operatorname{sen} v=2\cos\frac{u+v}{2}\operatorname{sen}\frac{u-v}{2},$$
$$\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$
$$\cos u-\cos v=-2\operatorname{sen}\frac{u+v}{2}\operatorname{sen}\frac{u-v}{2}.$$
たとえば、$\operatorname{sen}75°+\operatorname{sen}15°=2\operatorname{sen}45°\cos30°=\sqrt6/2$。形状を変更すると、くちばしが短くなります。
日常生活での応用
- 写真を回転します。 携帯電話は、円弧を追加するための式を点ごとに計算して写真を回転します。
- 楽器を調整します。 2 つのほぼ同じ音符が音量の「パルス」を生成します。和から積への変換により、ミュージシャンがチューニングに使用するこのビートが説明されます。
- 投げ 投げの範囲は$\operatorname{sen} 2\theta$(二重円弧)に依存するため、空気抵抗なく最も遠くまで届く角度は$45^\circ$の角度となります。
練習問題
ソリューションを開く前に、ノートブックで問題を解いてみてください。演習 1 と 2 が入力されています。 3 と 4、練習用。 5と6、深めに。
1. $45°+30°$を使用して$\cos75°$を計算します。
解像度 1 を参照
$\cos75°=(\sqrt6-\sqrt2)/4$、和余弦式を使用します。
2. $\operatorname{sen} a=3/5$と$\cos a=4/5$の場合は$\operatorname{sen}2a$と$\cos2a$を計算します。
解像度 2 を参照
$\operatorname{sen}2a=2(3/5)(4/5)=24/25$; $\cos2a=(16-9)/25=7/25$.
3. 引き算で $\operatorname{sen}15°$ を差し引きます。
解像度 3 を参照
$\operatorname{sen}(45°-30°)=(\sqrt6-\sqrt2)/4$.
4. $\cos22{,}5°$を半数式で求めます。
解像度 4 を参照
角度は第 1 象限にあります。正のルート $\sqrt{(1+\sqrt2/2)/2}=\sqrt{2+\sqrt2}/2$ を選択します。
5. $\cos80°+\cos20°$ を製品に変換します。
解像度 5 を参照
平均は$50°$、差の半分は$30°$です。結果: $2\cos50°\cos30°=\sqrt3\cos50°$。
6. 半正接の公式を使用して $\tan30°$ を求めます。
解像度 6 を参照
$\theta=60°$の場合：$(\sqrt3/2)/(1+1/2)=\sqrt3/3$。