Uma corda entre dois raios

Inscreva um polígono regular de $n\ge3$ lados em uma circunferência de raio $R$. Ligue dois vértices vizinhos ao centro O. O triângulo formado tem dois lados iguais a $R$ e base igual ao lado $\ell$ do polígono.

Os $n$ ângulos centrais iguais completam uma volta. Cada um mede $360°/n$. Trace a altura desse triângulo a partir de O. Por simetria, ela corta a base e o ângulo central ao meio.

Demonstração da relação com o seno

Em uma das metades aparece um triângulo retângulo. Seu ângulo em O mede $180°/n$, sua hipotenusa é $R$ e o cateto oposto é $\ell/2$.

Definimos o seno de um ângulo agudo como a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Portanto:

$$\sin\frac{180°}{n}=\frac{\ell/2}{R}=\frac{\ell}{2R}.$$

Isolando o comprimento do lado:

$$\ell=2R\sin\frac{180°}{n}.$$

Na circunferência de raio 1, a relação se reduz a $\sin(180°/n)=\ell/2$. No Ensino Médio, a mesma medida angular será escrita como $\pi/n$ radianos.

Aplicação ao hexágono

Um hexágono regular pode ser dividido, pelos raios, em seis triângulos equiláteros: cada ângulo central mede $360°/6=60°$. Assim, o lado do hexágono mede $R$.

Substituindo $n=6$ e $\ell=R$:

$$\sin30°=\frac{R}{2R}=\frac12.$$

O seno não tem unidade: é uma razão entre comprimentos medidos na mesma unidade. Dobrar o raio dobra o lado, mas não muda o quociente.

No dia a dia

  • Porcas sextavadas. A cabeça de um parafuso é um hexágono regular; o seno de meio ângulo central liga o lado ao raio.
  • Placa de PARE. A placa é um octógono regular: oito ângulos centrais de $45^\circ$.
  • Rodas com raios. Numa roda de bicicleta, a distância entre as pontas de dois raios vizinhos é uma corda, calculada com o seno de meio ângulo.
Polígonos do dia a dia: com 8 lados, a placa de PARE; com 6, a porca sextavada. A corda é $2r\operatorname{sen}\frac{\theta}{2}$.

Exercícios com resolução

1. Um hexágono regular inscrito tem raio 7 cm. Calcule seu lado e seu perímetro.

Conferir resolução 1

O lado mede 7 cm. O perímetro é $6\cdot7=42$ cm.

2. Um quadrado inscrito tem lado $R\sqrt2$. Use a relação da corda para encontrar $\sin45°$.

Conferir resolução 2

Com $n=4$, $\sin45°=\ell/(2R)=R\sqrt2/(2R)=\sqrt2/2$.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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