Euler's Eyes
2026-10-22
Ciclo trigonométrico
O ciclo trigonométrico é a “pista de corrida” da trigonometria: uma circunferência de raio 1 em que cada número real é um percurso a partir de um ponto de largada. Todas as funções dos próximos capítulos serão lidas nele.
A história
Os astrônomos gregos e indianos trabalhavam com círculos de raio grande — Ptolomeu usava raio 60 e Aryabhata, 3438 — para evitar frações nas tabelas. Foi Euler, no século XVIII, quem fixou o raio 1: assim o comprimento do arco é a própria medida do ângulo em radianos, e seno e cosseno passam a ser números, não comprimentos de segmentos. A ideia de enrolar a reta real sobre a circunferência, permitindo arcos negativos e maiores que uma volta, é o que transforma a trigonometria dos triângulos numa teoria de funções periódicas.
- Nasce e cresce na Suíça. Aos 13 anos entra na universidade e passa a ter aulas de sábado com Johann Bernoulli.
- Desce o Reno de barco, atravessa a Alemanha de carruagem e embarca em Lübeck para a Rússia.
- Trabalha na Academia de Ciências. Resolve o problema de Basileia, estuda as pontes de Königsberg e perde a visão do olho direito.
- A convite de Frederico II, vai para a Academia de Berlim. Publica a Introductio in analysin infinitorum e a fórmula $e^{ix}=\cos x+i\sin x$.
- Volta a convite de Catarina, a Grande. Fica quase cego, mas continua ditando artigos até morrer, em 1783.
Fontes: Euler (MacTutor) · Aryabhata (MacTutor).
No dia a dia
- Roda-gigante. A altura de uma cabine é a altura do centro mais $r \operatorname{sen}\theta$, em que $\theta$ é o arco percorrido a partir do ponto mais à direita — é o ciclo trigonométrico ampliado.
- Longitude. Andar $190^\circ$ para leste a partir de Greenwich leva ao mesmo meridiano que andar $170^\circ$ para oeste: arcos côngruos, com nomes diferentes.
- Jogos e animações. Um personagem que gira $370^\circ$ fica na mesma posição que um que gira $10^\circ$; os programas guardam o ângulo “reduzido” a uma volta para não acumular números enormes.
Teoria
Definição
Tomemos no plano um sistema cartesiano ortogonal $uOv$ e a circunferência $\lambda$ de centro $O$ e raio $r = 1$. O comprimento de $\lambda$ é $2\pi$, pois $r = 1$. Sejam $A = (1, 0)$, $B = (0, 1)$, $A' = (-1, 0)$ e $B' = (0, -1)$.
DefiniçãoCiclo trigonométrico
Associamos a cada número real $x$ um único ponto $P$ de $\lambda$ do seguinte modo:
- se $x = 0$, então $P$ coincide com $A$;
- se $x > 0$, realizamos a partir de $A$ um percurso de comprimento $x$ no sentido anti-horário e marcamos $P$ no fim do percurso;
- se $x < 0$, realizamos a partir de $A$ um percurso de comprimento $|x|$ no sentido horário; o fim do percurso é $P$.
A circunferência $\lambda$, com origem em $A$, é o ciclo (ou circunferência) trigonométrico. Se $P$ está associado a $x$, dizemos que $P$ é a imagem de $x$ no ciclo.
Números côngruos
Se $P$ é a imagem do número $x_0$, então $P$ também é a imagem de
$$x_0 + 2\pi,\quad x_0 + 4\pi,\quad x_0 + 6\pi,\ \ldots$$e também de
$$x_0 - 2\pi,\quad x_0 - 4\pi,\quad x_0 - 6\pi,\ \ldots$$pois somar ou subtrair $2\pi$ acrescenta ou retira uma volta inteira ao percurso.
PropriedadeOs números que têm a mesma imagem
$P$ é a imagem dos elementos do conjunto
$$\{\,x \in \mathbb{R} \mid x = x_0 + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\,\}.$$DefiniçãoNúmeros côngruos
Dois números reais $x_1 = x_0 + 2k_1\pi$ e $x_2 = x_0 + 2k_2\pi$ ($k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$), que têm a mesma imagem $P$ no ciclo, satisfazem $x_1 - x_2 = 2k\pi$, com $k = k_1 - k_2$. Por isso dizemos que $x_1$ e $x_2$ são côngruos módulo $2\pi$, ou simplesmente côngruos.
ExemploAchando a imagem de um número grande
Para marcar $\dfrac{25\pi}{3}$, escrevemos $\dfrac{25\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{24\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 8\pi$. Como $8\pi$ são 4 voltas inteiras, $\dfrac{25\pi}{3}$ e $\dfrac{\pi}{3}$ são côngruos e têm a mesma imagem: o ponto a $\dfrac{1}{6}$ do ciclo, no sentido anti-horário a partir de $A$.
Os exercícios desta seção são os de números 17 a 22 da lista do capítulo.