Euler's Eyes
2026-10-21
Medida de ângulos em graus, minutos e segundos
Uma unidade para comparar giros
Dividir uma volta em 360 partes iguais define o grau. Uma volta inteira mede $360°$; meia-volta, $180°$; um quarto, $90°$. Ângulos entre $0°$ e $90°$ são agudos; entre $90°$ e $180°$, obtusos.
Em uma circunferência, a medida de um arco em graus é a medida de seu ângulo central correspondente. Para distinguir os dois arcos com os mesmos extremos, indique qual está sendo medido.
Partes menores do grau
Um grau tem 60 minutos de arco e cada minuto tem 60 segundos de arco:
$$1°=60',\qquad1'=60'',\qquad1°=3600''.$$Essas unidades medem ângulos. Os nomes não tornam um ângulo uma medida de tempo.
Para transformar $27°18'$ em graus decimais:
$$27°18'=\left(27+\frac{18}{60}\right)°=27{,}3°.$$Na direção contrária, em $42{,}25°$, a parte $0{,}25°$ corresponde a $0{,}25\cdot60=15'$. Logo, $42{,}25°=42°15'$.
Demonstração: por que precisamos reagrupar?
Somar unidades de mesmo tipo dá:
$$18°45'+7°30'=25°75'.$$Como $75'=60'+15'=1°15'$, a forma com minutos menores que 60 é:
$$25°75'=26°15'.$$A transformação troca a unidade de uma parte da soma, preservando a medida total. Na subtração, podemos fazer o caminho inverso: $30°=29°60'$.
Complementares e suplementares
Dois ângulos são complementares quando somam $90°$ e suplementares quando somam $180°$. O complemento de $34°$ é $56°$; o suplemento é $146°$.
Essas relações reaparecem quando estudamos os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo e as simetrias do ciclo trigonométrico.
No dia a dia
- Coordenadas. Latitudes e longitudes são dadas em graus, minutos e segundos; São Paulo fica perto de $23^\circ 33'$ S.
- Milha náutica. Um minuto de latitude mede cerca de 1852 m, a milha náutica usada por navios e aviões; um segundo, cerca de 31 m.
- GPS do celular. Os aplicativos mostram as coordenadas também em graus decimais: $23{,}55^\circ = 23^\circ 33'$.
Exercícios com resolução
1. Calcule $40°10\prime-12°35\prime$.
Conferir resolução 1
$40°10\prime=39°70\prime$. Subtraindo, $39°70\prime-12°35\prime=27°35\prime$.
2. Converta $12°24\prime36\prime\prime$ para graus decimais.
Conferir resolução 2
$12+24/60+36/3600=12{,}41$. A medida é $12{,}41°$.
No livro interativo
Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:
Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.