O primeiro uso conhecido do sinal ∞, no tratado De sectionibus conicis de John Wallis (1655). No meio do texto: “esto enim ∞ nota numeri infiniti”, seja ∞ o sinal de um número infinito. Duas linhas acima, a altura de cada paralelogramo é 1/∞ da altura total.
O primeiro uso conhecido do sinal ∞, no tratado De sectionibus conicis de John Wallis (1655). No meio do texto: “esto enim ∞ nota numeri infiniti”, seja ∞ o sinal de um número infinito. Duas linhas acima, a altura de cada paralelogramo é 1/∞ da altura total.John Wallis · Wikimedia Commons · domínio público

Em 1655, o inglês John Wallis, professor em Oxford, dividiu uma figura plana em infinitos paralelogramos finíssimos, cada um com altura igual a uma parte infinitamente pequena da altura total. Para escrever essa parte, precisou de um sinal para o infinito, e inventou um:

Seja, pois, ∞ o sinal de um número infinito.

— John Wallis, De sectionibus conicis (1655)

E escreveu a altura de cada paralelogramo como $\frac1\infty$. Ninguém sabe ao certo de onde ele tirou a forma. As duas hipóteses mais citadas são uma variante do numeral romano CIↃ, que valia mil e era usado para “muitos”, e a última letra do alfabeto grego, o ômega minúsculo, $\omega$, o fim de tudo.

Um sinal com cara de número

O problema do $\infty$ é que ele se parece com um número. Fica na mesma linha que os outros, aceita sinais de operação ao lado, entra em frações. E isso convida a contas que não fazem sentido. Se $\infty$ fosse um número, então $\infty-\infty=0$. Mas veja:

$$\lim_{x\to\infty}\big((x+1)-x\big)=1,\qquad\lim_{x\to\infty}(2x-x)=\infty,\qquad\lim_{x\to\infty}(x-2x)=-\infty.$$

Nas três contas, as duas parcelas vão para infinito, e cada uma dá um resultado diferente. Por isso $\infty-\infty$ é chamada de forma indeterminada: a escrita não decide o valor, quem decide é a velocidade com que cada parte cresce. O mesmo vale para $\frac\infty\infty$, $0\cdot\infty$, $1^\infty$ e $\frac00$.

O ∞ do limite é uma direção

Quando se escreve $x\to\infty$, o $\infty$ não é um lugar aonde $x$ chega. É uma direção: “$x$ cresce sem parar”. A frase

$$\lim_{x\to\infty}\frac1x=0$$

não diz que $\frac1\infty=0$. Diz que $\frac1x$ fica tão perto de zero quanto se queira, desde que $x$ seja grande o bastante. O capítulo 1 contou como Cauchy e Weierstrass escreveram isso sem usar o infinito como número. Aristóteles chamava esse tipo de infinito de potencial: um processo que sempre pode continuar, mas nunca está completo.

John Wallis (1616–1703), professor de geometria em Oxford e criptógrafo do Parlamento inglês, num retrato a partir de Godfrey Kneller.
John Wallis (1616–1703), professor de geometria em Oxford e criptógrafo do Parlamento inglês, num retrato a partir de Godfrey Kneller.segundo Godfrey Kneller · Wikimedia Commons · domínio público

O infinito que tem tamanho

No fim do século XIX, Georg Cantor fez algo que Aristóteles proibia: tratou conjuntos infinitos como objetos completos e comparou os seus tamanhos. O conjunto dos números naturais e o dos números pares têm o mesmo tamanho, porque se casam um a um ($n\leftrightarrow2n$). O conjunto dos números reais é maior, como mostra a diagonal que o capítulo de Turing, no livro de História, usa para os números computáveis.

Para esses infinitos completos, Cantor não usou o $\infty$ de Wallis. Escolheu uma letra nova, o álefe, a primeira letra do alfabeto hebraico: $\aleph_0$ é o tamanho dos naturais. A escolha é semiótica: o $\infty$ já estava comprometido com a ideia de “sem fim”, e os novos infinitos eram outra coisa, números de verdade, com aritmética própria. Hoje convivem os dois sinais, um para o infinito como direção, o outro para o infinito como quantidade.

Exercício: um ∞ − ∞ que dá meio

Calcule $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$.

As duas parcelas vão para infinito. Multiplique e divida pelo conjugado:

$$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}.$$

Quando $x\to\infty$, isso tende a $\frac1{1+1}=\frac12$. Um $\infty-\infty$ que vale $\frac12$.

Exercício: dois ∞/∞ diferentes

Calcule $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+1}$ e $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x+1}$.

Nos dois, numerador e denominador vão para infinito. No primeiro, $\frac{x}{x+1}=\frac1{1+1/x}\to1$. No segundo, $\frac{x^2}{x+1}=\frac{x}{1+1/x}\to\infty$. A mesma forma $\frac\infty\infty$ deu $1$ num caso e $\infty$ no outro.

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