Os exercícios com resolução mostram um método; os seguintes pedem para aplicá-lo. Tente cada um antes de abrir a resposta.

Medidas de arcos

1

Exprima $225^\circ$ em radianos.

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Regra de três simples:

$$\begin{array}{rcl} 180^\circ & \longleftrightarrow & \pi \text{ rad} \\ 225^\circ & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{225 \cdot \pi}{180} = \frac{5\pi}{4} \text{ rad}.$$
2

Exprima em radianos: a) $210^\circ$; b) $240^\circ$; c) $270^\circ$; d) $300^\circ$; e) $315^\circ$; f) $330^\circ$.

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a) $\dfrac{7\pi}{6}$ rad · b) $\dfrac{4\pi}{3}$ rad · c) $\dfrac{3\pi}{2}$ rad · d) $\dfrac{5\pi}{3}$ rad · e) $\dfrac{7\pi}{4}$ rad · f) $\dfrac{11\pi}{6}$ rad

3

Exprima $\dfrac{11\pi}{6}$ rad em graus.

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$$\begin{array}{rcl} \pi \text{ rad} & \longleftrightarrow & 180^\circ \\ \dfrac{11\pi}{6} \text{ rad} & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{\frac{11\pi}{6} \cdot 180}{\pi} = 330^\circ.$$
4

Exprima em graus: a) $\dfrac{\pi}{6}$ rad; b) $\dfrac{\pi}{4}$ rad; c) $\dfrac{\pi}{3}$ rad; d) $\dfrac{2\pi}{3}$ rad; e) $\dfrac{3\pi}{4}$ rad; f) $\dfrac{5\pi}{6}$ rad.

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a) $30^\circ$ · b) $45^\circ$ · c) $60^\circ$ · d) $120^\circ$ · e) $135^\circ$ · f) $150^\circ$

5

Um arco de circunferência mede 30 cm e o raio da circunferência mede 10 cm. Calcule a medida do arco em radianos.

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A medida em radianos é a razão entre o comprimento do arco e o comprimento do raio:

$$\text{medida de } \overset{\frown}{AB} \text{ em rad} = \frac{\text{comprimento do arco } \overset{\frown}{AB}}{\text{comprimento do raio}} = \frac{30 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 3 \text{ rad}.$$
6

Sobre uma circunferência de raio 10 cm marca-se um arco $\overset{\frown}{AB}$ tal que a corda $\overline{AB}$ mede 10 cm. Calcule a medida do arco em radianos.

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O segmento $\overline{AB}$ tem a medida do raio: é lado do hexágono regular inscrito na circunferência. Logo o menor arco $\overset{\frown}{AB}$ é $\dfrac{1}{6}$ da circunferência e mede

$$\frac{1}{6} \times 2\pi \text{ rad} = \frac{\pi}{3} \text{ rad}.$$
7

Um grau se divide em $60'$ (60 minutos) e um minuto se divide em $60''$ (60 segundos). Por exemplo, um arco de $30'$ é um arco de $0{,}5^\circ$. Converta em radianos os arcos: a) $22^\circ 30'$; b) $31^\circ 15' 45''$.

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a) $22^\circ 30' = 22 \times 60' + 30' = 1350'$ e $180^\circ = 180 \times 60' = 10\,800'$. Então

$$\begin{array}{rcl} 10\,800' & \longleftrightarrow & \pi \text{ rad} \\ 1350' & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{1350 \cdot \pi}{10\,800} = \frac{\pi}{8} \text{ rad}.$$

b) $31^\circ 15' 45'' = 31 \times 3600'' + 15 \times 60'' + 45'' = 112\,545''$ e $180^\circ = 180 \times 3600'' = 648\,000''$. Então

$$\begin{array}{rcl} 648\,000'' & \longleftrightarrow & \pi \text{ rad} \\ 112\,545'' & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{112\,545 \cdot \pi}{648\,000} \approx \frac{112\,545 \cdot 3{,}1416}{648\,000} \approx 0{,}54563 \text{ rad}.$$
8

Converta em graus o arco de 1 rad.

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$$\begin{array}{rcl} 3{,}1416 \text{ rad} & \longleftrightarrow & 180^\circ \\ 1 \text{ rad} & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{180^\circ}{3{,}1416}.$$

Fazendo a divisão, $\dfrac{180}{3{,}1416} \approx 57{,}2956$. A parte inteira dá $57^\circ$. O resto, $0{,}2956^\circ$, multiplicado por 60 vira minutos: $0{,}2956 \times 60 \approx 17{,}738'$, ou seja, $17'$. O novo resto, $0{,}738'$, multiplicado por 60 vira segundos: $0{,}738 \times 60 \approx 44''$. Portanto

$$1 \text{ rad} \approx 57^\circ 17' 44''.$$

A figura compara 1 rad com $60^\circ$: no triângulo equilátero de lado $r$, a corda mede $r$ e o arco de $60^\circ$ é maior que $r$; o arco de comprimento $r$ termina um pouco antes, em $57^\circ 17' 44''$.

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9

Exprima em radianos as medidas dos arcos $a$ e $b$ tais que $a - b = 15^\circ$ e $a + b = \dfrac{7\pi}{4}$ rad.

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$a = \dfrac{11\pi}{12}$ rad e $b = \dfrac{5\pi}{6}$ rad

10

Exprima em graus as medidas dos arcos $a$, $b$ e $c$ tais que $a + b + c = 13^\circ$, $a + b + 2c = \dfrac{\pi}{12}$ rad e $a + 2b + c = \dfrac{\pi}{9}$ rad.

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$a = 4^\circ$, $b = 7^\circ$ e $c = 2^\circ$

Medida de ângulos

11

Calcule, em graus, a medida do ângulo $a\hat{O}b$ da figura.

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$\alpha = \dfrac{\ell}{r} = \dfrac{3}{10}$ rad. Convertendo em graus:

$$\begin{array}{rcl} \pi \text{ rad} & \longrightarrow & 180^\circ \\ \dfrac{3}{10} \text{ rad} & \longrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{\frac{3}{10} \times 180^\circ}{\pi} = \frac{54^\circ}{3{,}1416} \approx 17^\circ 11' 19''.$$
12

Calcule o comprimento $\ell$ do arco $\overset{\frown}{AB}$ definido numa circunferência de raio $r = 10$ cm por um ângulo central de $60^\circ$.

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Convertido em radianos, o ângulo central $a\hat{O}b$ mede $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ rad. Então

$$\alpha = \frac{\ell}{r} \;\Longrightarrow\; \ell = \alpha \cdot r = \frac{\pi}{3} \cdot 10 \approx \frac{31{,}416}{3} \approx 10{,}472 \text{ cm}.$$
13

Calcule a medida do ângulo central $a\hat{O}b$ que determina, numa circunferência de raio $r$, um arco de comprimento $\dfrac{2\pi r}{3}$.

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$\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$ rad, ou $120^\circ$

14

Calcule o comprimento $\ell$ do arco $\overset{\frown}{AB}$ definido numa circunferência de raio 7 cm por um ângulo central de 4,5 rad.

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$\ell = 31{,}5$ cm

15

Calcule o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está marcando: a) 1 h; b) 1 h 15 min; c) 1 h 40 min.

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a) Os números do mostrador dividem a circunferência em 12 partes iguais, cada uma de $30^\circ$. À 1 h, o ponteiro grande está no 12 e o pequeno no 1: os ponteiros formam um ângulo convexo de $30^\circ$.

b) Em 60 minutos o ponteiro pequeno percorre $30^\circ$; em 15 minutos ele percorre um ângulo $\alpha$ tal que

$$\frac{\alpha}{15} = \frac{30^\circ}{60} \;\Longrightarrow\; \alpha = 7{,}5^\circ = 7^\circ 30'.$$

Às 1 h 15 min o ponteiro grande está no 3 (a $60^\circ$ do 1), e o pequeno avançou $\alpha$ a partir do 1. O ângulo entre eles é

$$\theta = 60^\circ - \alpha = 60^\circ - 7^\circ 30' = 52^\circ 30'.$$

c) Em 40 minutos o ponteiro pequeno percorre $\beta$ tal que $\dfrac{\beta}{40} = \dfrac{30^\circ}{60}$, ou seja, $\beta = 20^\circ$. O ponteiro grande está no 8, a $150^\circ$ do 1 (5 divisões). Então

$$\varphi = 150^\circ + \beta = 150^\circ + 20^\circ = 170^\circ,$$

ou ainda $\varphi = 180^\circ - \gamma = 180^\circ - 10^\circ = 170^\circ$, em que $\gamma = 10^\circ$ é o que falta ao ponteiro pequeno para chegar ao 2, oposto ao 8.

Confira as três respostas no relógio interativo.

16

Calcule o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que marca: a) 2 h 40 min; b) 5 h 55 min; c) 6 h 30 min.

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a) $160^\circ$ · b) $152^\circ 30'$ · c) $15^\circ$

Ciclo trigonométrico

17

Divide-se o ciclo em 12 partes iguais, usando $A$ como um dos pontos divisores. Determine os números $x \in [0, 2\pi[$ cujas imagens são os pontos divisores.

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Cada parte mede $\dfrac{1}{12} \cdot 2\pi = \dfrac{\pi}{6}$, e $P$ é a imagem de $x$ quando $\overset{\frown}{AP} = x$. Assim:

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imagem de $x$ $A$ $P_1$ $P_2$ $B$ $P_3$ $P_4$ $A'$ $P_5$ $P_6$ $B'$ $P_7$ $P_8$
$x$ $0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{5\pi}{6}$ $\pi$ $\frac{7\pi}{6}$ $\frac{4\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{5\pi}{3}$ $\frac{11\pi}{6}$
18

Divide-se o ciclo em 8 partes iguais, usando $A$ como um dos pontos divisores. Determine o conjunto dos números $x \in [0, 2\pi[$ cujas imagens são os pontos divisores.

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imagem de $x$ $A$ $P_1$ $B$ $P_2$ $A'$ $P_3$ $B'$ $P_4$
$x$ $0$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{3\pi}{4}$ $\pi$ $\frac{5\pi}{4}$ $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{7\pi}{4}$
19

Indique no ciclo a imagem de cada um dos números: a) $\dfrac{3\pi}{4}$; b) $-\dfrac{5\pi}{4}$; c) $11\pi$; d) $-3\pi$; e) $\dfrac{25\pi}{3}$; f) $-\dfrac{19\pi}{6}$.

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a) $\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{3}{8} \cdot 2\pi$: marcamos a partir de $A$ um percurso $\overset{\frown}{AP}$ igual a $\dfrac{3}{8}$ do ciclo, no sentido anti-horário.

b) $-\dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{5}{8} \cdot 2\pi$: marcamos a partir de $A$ um percurso igual a $\dfrac{5}{8}$ do ciclo, no sentido horário.

c) $11\pi = \pi + 10\pi$. Como $11\pi - \pi$ é múltiplo de $2\pi$, os números $11\pi$ e $\pi$ têm a mesma imagem, $A'$.

d) $-3\pi = \pi - 4\pi$. Como $(-3\pi) - \pi$ é múltiplo de $2\pi$, $-3\pi$ e $\pi$ têm a mesma imagem, $A'$.

e) $\dfrac{25\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{24\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 8\pi$. Assim $\dfrac{25\pi}{3}$ e $\dfrac{\pi}{3}$ têm a mesma imagem $P$, obtida marcando um percurso $\overset{\frown}{AP}$ igual a $\dfrac{1}{6}$ do ciclo, no sentido anti-horário.

f) $-\dfrac{19\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{24\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} - 4\pi$. Assim $-\dfrac{19\pi}{6}$ e $\dfrac{5\pi}{6}$ têm a mesma imagem. Como $\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{5}{12} \cdot 2\pi$, a imagem é a extremidade do percurso $\overset{\frown}{AP}$ igual a $\dfrac{5}{12}$ do ciclo, no sentido anti-horário.

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20

Indique no ciclo as imagens dos números reais $\dfrac{\pi}{8}$, $\dfrac{11\pi}{8}$, $-\dfrac{3\pi}{8}$, $-\dfrac{7\pi}{8}$, $\dfrac{13\pi}{6}$, $-\dfrac{15\pi}{2}$, $\dfrac{17\pi}{4}$ e $-\dfrac{31\pi}{4}$.

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Repare que $\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi$, $-\dfrac{15\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} - 8\pi$, $\dfrac{17\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 4\pi$ e $-\dfrac{31\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} - 8\pi$.

21

Represente no ciclo as imagens dos conjuntos de números

$$E = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\} \qquad\text{e}\qquad F = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = k\,\frac{\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}.$$
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Para $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$:

  • $k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}$ (imagem $B$);
  • $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{2}$ (imagem $B'$);
  • $k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{2}$ (repete $B$).

O conjunto $E$ tem como imagem os pontos $B$ e $B'$.

Para $x = k \cdot \dfrac{\pi}{2}$:

  • $k = 0 \Rightarrow x = 0$ (imagem $A$); $\;k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}$ (imagem $B$);
  • $k = 2 \Rightarrow x = \pi$ (imagem $A'$); $\;k = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{2}$ (imagem $B'$);
  • $k = 4 \Rightarrow x = 2\pi$ (repete $A$).

O conjunto $F$ tem como imagem os pontos $A$, $B$, $A'$ e $B'$.

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22

Represente no ciclo as imagens dos conjuntos de números reais

$$E = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\} \qquad F = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{k\pi}{3},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$$$$G = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{3} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\} \qquad H = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{4} + k\,\frac{\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$$
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$E$: os pontos $A$ e $A'$; $F$: os vértices de um hexágono regular com um vértice em $A$; $G$: as imagens de $\dfrac{\pi}{3}$ e $\dfrac{4\pi}{3}$, diametralmente opostas; $H$: os vértices de um quadrado com vértices em $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{4}$, $\dfrac{5\pi}{4}$ e $\dfrac{7\pi}{4}$.