Se $0 < a < \frac{\pi}{2}$ e $0 < b < \frac{\pi}{2}$, então:
$\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a\cos b + \operatorname{sen} b\cos a$, e no 1º quadrante (aberto) $0 < \cos a, \cos b < 1$; cada parcela é menor que $\operatorname{sen} a$ e $\operatorname{sen} b$, respectivamente.
Teste 77PUC-71
Para todo $x$ real, sempre vale a relação:
A fórmula do arco duplo vale para todo $x$ real. (c) e (e) não valem onde $\cos x = 0$ ou $\operatorname{sen} x = 0$ (os dois membros nem existem), (a) e (d) são falsas em geral.
Teste 78MACK-74
A expressão $N = \operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\cos 2\alpha\cos 4\alpha\cos 8\alpha\cos 16\alpha\cos 32\alpha$ é equivalente a:
Use repetidamente $\operatorname{sen} t\cos t = \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2t$: $\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2\alpha$; vezes $\cos 2\alpha$ dá $\frac{1}{4}\operatorname{sen} 4\alpha$; …; ao final, $\frac{1}{2^6}\operatorname{sen} 64\alpha$.
Teste 79FEI-67
O menor período da função $f(x) = \operatorname{sen} x\cos x$ é:
$\operatorname{sen} x\cos x = \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2x$, de período $\frac{2\pi}{2} = \pi$.
Teste 80MACK-77
Sejam as funções $f_1$ e $f_2$ de domínio $\mathbb{R}$ definidas por $f_1(x) = \operatorname{sen} x + \cos x$ e $f_2(x) = 3\operatorname{sen} x\cos x$. Sendo $I_1$ e $I_2$ os conjuntos-imagem de $f_1$ e $f_2$, respectivamente, tem-se que:
$f_1(x) = \sqrt{2}\operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ tem imagem $I_1 = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$; $f_2(x) = \frac{3}{2}\operatorname{sen} 2x$ tem imagem $I_2 = \left[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right]$. Como $\sqrt{2} < \frac{3}{2}$, $I_1$ está contido em $I_2$ e é diferente dele.
Teste 81CESCEM-76
Sabe-se que $\operatorname{sen} 2x = 2\operatorname{sen} x\cos x$. Portanto, $\operatorname{sen} 4x$ é igual a:
Aplicando a mesma fórmula a $2x$: $\operatorname{sen} 4x = \operatorname{sen}(2 \cdot 2x) = 2\operatorname{sen} 2x\cos 2x$.
Teste 82GV-73
Sendo $x$ um arco do quarto quadrante e $\operatorname{sen} x = -\frac{1}{2}$, o valor de $\operatorname{sen} 4x$ é:
No 4º quadrante, $\operatorname{sen} x = -\frac{1}{2}$ dá $x = -\frac{\pi}{6}$ (a menos de voltas). Então $\operatorname{sen} 4x = \operatorname{sen}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Teste 83CESCEM-70
Se $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, então o valor de $\cos 4x$ é:
$\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 = 2(2\cos^2 x - 1)^2 - 1 = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1$.
Teste 84CESCEA-77
Sabendo-se que $\cos 2x = \frac{2}{3}$, o valor de $\operatorname{tg}^2 x$ é:
Sendo $x$ um arco do primeiro quadrante e $\operatorname{sen} x = a$, a expressão $2\cos 2x + \operatorname{sen}^2 2x$ é igual a:
$2\cos 2x + \operatorname{sen}^2 2x = 2(1 - 2a^2) + 4a^2(1 - a^2) = 2 - 4a^4 = 2(1 - 2a^4)$. (O enunciado impresso traz $2\cos^2 x$ na primeira parcela; com ela, a expressão daria $2 + 2a^2 - 4a^4$, que não está entre as alternativas.)
Teste 86
Sabendo que $\operatorname{sen} a = \frac{3}{5}$ e $\cos a = \frac{4}{5}$, então $\operatorname{sen} 2a + \cos 2a$ é igual a:
$\operatorname{sen} 2a = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$ e $\cos 2a = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$; a soma é $\frac{31}{25}$.
Teste 87CESCEM-77
Sejam $f$ e $g$ funções definidas por $f(x) = \cos 2x$ e $g(x) = \operatorname{sen}^2 x - 1$. Então $f(x) + g(x)$ é:
$\cos 2x + \operatorname{sen}^2 x - 1 = (1 - 2\operatorname{sen}^2 x) + \operatorname{sen}^2 x - 1 = -\operatorname{sen}^2 x$.
Teste 88MACK-74
O período da função $f$ definida por $f(x) = \operatorname{sen}^4 x$ é:
$\operatorname{sen}^4(x + \pi) = (-\operatorname{sen} x)^4 = \operatorname{sen}^4 x$, e nenhum período menor serve (a função vale 0 em $x = 0$ e só volta a se anular em $x = \pi$). O gabarito impresso indica $\frac{\pi}{2}$, mas $\operatorname{sen}^4\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos^4 x$, que em geral é diferente de $\operatorname{sen}^4 x$.
Teste 89MACK-74
O período da função $f(x) = \operatorname{sen}^2 3x - \cos 4x$ é:
$\operatorname{sen}^2 3x = \frac{1 - \cos 6x}{2}$ tem período $\frac{\pi}{3}$ e $\cos 4x$ tem período $\frac{\pi}{2}$. O menor múltiplo comum de $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{\pi}{2}$ é $\pi$.
Teste 90CESCEA-73
A expressão $\dfrac{\operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x} + \dfrac{\operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x}$ é idêntica a:
Com $t = \operatorname{tg} x$: $\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{t + 1}{1 - t} \cdot \frac{t - 1}{1 + t} = -1$, sempre que tudo estiver definido. Em $x = \frac{\pi}{4}$, por exemplo, $\operatorname{tg}\frac{\pi}{2}$ não existe.
Teste 92MACK-74
Seja $w = \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{cotg}\alpha$, com $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Então:
Com $t = \operatorname{tg}\alpha > 0$, $w = t + \frac{1}{t} \ge 2$ (igualdade em $\alpha = \frac{\pi}{4}$); veja também o teste 47.
Teste 93EAESP-GV-77
Se $\operatorname{tg} x = t$, então $\cos 2x + \operatorname{sen} 2x$ é equivalente a:
Pelas fórmulas da tangente do arco metade (aqui, de $2x$ em função de $\operatorname{tg} x$): $\cos 2x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ e $\operatorname{sen} 2x = \frac{2t}{1 + t^2}$.
Teste 94MACK-69
Outra forma para a expressão $\dfrac{3\operatorname{sen} 2x}{1 - \cos 2x}$ é:
Se $\operatorname{tg} x = m$ e $\operatorname{tg} 2x = 3m$, com $m > 0$, o ângulo agudo $x$ mede:
$\frac{2m}{1 - m^2} = 3m$ com $m > 0$ dá $2 = 3 - 3m^2$, $m = \frac{\sqrt{3}}{3}$, isto é, $x = 30^\circ$.
Teste 97ITA-77
Seja $D = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \log\frac{n\pi}{2},\ n = 1, 2, 3, \ldots\right\}$ (logaritmo natural). Com respeito à função $f\colon D \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{\operatorname{sen}(3e^x)}{\operatorname{sen} e^x} - \dfrac{\cos(3e^x)}{\cos e^x}$, podemos afirmar que:
Com $u = e^x$: $\frac{\operatorname{sen} 3u}{\operatorname{sen} u} - \frac{\cos 3u}{\cos u} = (3 - 4\operatorname{sen}^2 u) - (4\cos^2 u - 3) = 6 - 4 = 2$. O domínio $D$ exclui exatamente os pontos em que $\operatorname{sen} u$ ou $\cos u$ se anulam.
Teste 98MACK-74
Sendo $u$ a medida em radianos de um ângulo e $v = \frac{\pi}{4} - u$, a expressão $S = \dfrac{\operatorname{sen} u + \cos u}{\sqrt{2}\operatorname{sen} u\cos u}$, em função de $x = \cos v$, é:
$\operatorname{sen} u + \cos u = \sqrt{2}\cos\left(u - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos v = \sqrt{2}x$. E $\operatorname{sen} u\cos u = \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2u = \frac{1}{2}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - 2v\right) = \frac{1}{2}\cos 2v = \frac{2x^2 - 1}{2}$. Então $S = \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2} \cdot \frac{2x^2 - 1}{2}} = \frac{2x}{2x^2 - 1}$.
Teste 99UNB-74
Para $0 \le t \le 2\pi$, a expressão $\frac{1}{2}\sqrt{2(1 - \cos t)}$ é igual a:
$2(1 - \cos t) = 4\operatorname{sen}^2\frac{t}{2}$, logo a expressão vale $\left|\operatorname{sen}\frac{t}{2}\right|$; como $0 \le \frac{t}{2} \le \pi$, o seno é $\ge 0$ e o módulo pode ser retirado.
Teste 100MACK-73
Seja $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Da figura abaixo (circunferência de raio 1 e centro na origem) pode-se concluir diretamente que:
O ângulo inscrito com vértice em $(-1, 0)$ mede metade do ângulo central $\alpha$. No triângulo retângulo formado pela corda, pelo eixo $x$ e pela projeção do ponto $(\cos\alpha, \operatorname{sen}\alpha)$, a tangente desse ângulo é $\frac{\operatorname{sen}\alpha}{1 + \cos\alpha}$.
Teste 101EESCUSP-68
Se $\operatorname{cotg}\frac{a}{2} = \sqrt{3}$, então:
$\operatorname{cotg}\frac{a}{2} = \sqrt{3}$ dá $\frac{a}{2} = \frac{\pi}{6} + k\pi$, $a = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, e $\operatorname{sen} a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. (Ou: $\operatorname{sen} a = \frac{2\operatorname{tg}(a/2)}{1 + \operatorname{tg}^2(a/2)} = \frac{2/\sqrt{3}}{4/3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.)
Teste 102CESCEA-69
Se $\operatorname{tg}\frac{a}{2} = \frac{1}{2}$, então $\operatorname{tg} a$ vale:
$\operatorname{tg} a = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$.
Se $0 < a_n < \frac{\pi}{2}$ e $\cos a_n = \frac{n}{n + 1}$, então $\cos\frac{a_n}{2}$ vale:
Como $0 < \frac{a_n}{2} < \frac{\pi}{4}$, o cosseno é positivo: $\cos\frac{a_n}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{n}{n + 1}}{2}} = \sqrt{\frac{2n + 1}{2n + 2}}$.
Teste 106FFCLUSP-67
A igualdade $\operatorname{tg} x = a\operatorname{cotg} x + b\operatorname{cotg} 2x$ é válida para todo $x$ real tal que $x \ne \frac{k\pi}{2}$. Então $a$ e $b$ valem, respectivamente:
$\operatorname{cotg} 2x = \frac{\operatorname{cotg}^2 x - 1}{2\operatorname{cotg} x} = \frac{\operatorname{cotg} x - \operatorname{tg} x}{2}$. Então $a\operatorname{cotg} x + b\operatorname{cotg} 2x = \left(a + \frac{b}{2}\right)\operatorname{cotg} x - \frac{b}{2}\operatorname{tg} x$, que é $\operatorname{tg} x$ para todo $x$ se $-\frac{b}{2} = 1$ e $a + \frac{b}{2} = 0$: $b = -2$, $a = 1$.
Teste 107ITA-75
Sabendo-se que $\operatorname{sen} x = \frac{m - n}{m + n}$, com $n > 0$ e $m > 0$, podemos afirmar que $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$ é igual a:
$\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = \frac{1 - \operatorname{sen} x}{1 + \operatorname{sen} x} = \frac{2n/(m + n)}{2m/(m + n)} = \frac{n}{m}$. Logo a tangente vale $\pm\sqrt{\frac{n}{m}}$, e o sinal depende de $x$, que não foi fixado: para $\operatorname{sen} x = \frac{1}{2}$, por exemplo, $x = \frac{\pi}{6}$ dá $+\sqrt{\frac{1}{3}}$ e $x = \frac{5\pi}{6}$ dá $-\sqrt{\frac{1}{3}}$. Por isso nenhuma alternativa vale sempre; (d) só é correta quando $\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$ está no 1º quadrante.
Teste 108CESCEA-76
Transformando-se em produto a expressão $\cos 70^\circ - \operatorname{sen} 60^\circ$, obtém-se:
Seja $P = \operatorname{sen}^2 ax - \operatorname{sen}^2 bx$. Temos então que:
$\operatorname{sen}^2 A - \operatorname{sen}^2 B = (\operatorname{sen} A + \operatorname{sen} B)(\operatorname{sen} A - \operatorname{sen} B) = \operatorname{sen}(A + B)\operatorname{sen}(A - B)$ (transformando cada fator em produto).
Teste 114MACK-77
O menor valor que $y$ pode assumir na igualdade $y = \cos x + \cos 2x$ é:
Com $c = \cos x \in [-1, 1]$: $y = 2c^2 + c - 1$, parábola de vértice em $c = -\frac{1}{4}$, onde $y = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 1 = -\frac{9}{8}$.
Teste 115MACK-74
Sendo $\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} y = 2\operatorname{sen}\frac{x - y}{2}\cos\frac{x + y}{2}$ e lembrando que $|\operatorname{sen} z| \le |z|$, $|\cos t| \le 1$ e $|ab| = |a||b|$, podemos afirmar que, para quaisquer números $x$ e $y$ reais:
A expressão $\dfrac{\operatorname{sen}(a - x) + \operatorname{sen}(2a - 3x)}{\cos(a - x) + \cos(2a - 3x)}$ é o mesmo que:
Com $P = a - x$ e $Q = 2a - 3x$: $\frac{2\operatorname{sen}\frac{P + Q}{2}\cos\frac{P - Q}{2}}{2\cos\frac{P + Q}{2}\cos\frac{P - Q}{2}} = \operatorname{tg}\frac{P + Q}{2} = \operatorname{tg}\left(\frac{3}{2}a - 2x\right)$, que não aparece (a alternativa (c) tem o sinal trocado).
Teste 117MACK-74
Sendo $u$ a medida em radianos de um ângulo e $v = \frac{\pi}{4} - u$, a expressão $S = \dfrac{\operatorname{sen} u + \cos u}{\sqrt{2}\operatorname{sen} u\cos u}$, em função de $x = \cos v$, é:
É o mesmo problema do teste 98: $S = \frac{2x}{2x^2 - 1}$. No livro, esta questão aparece repetida, e a alternativa (d) vem impressa como $\frac{2x}{2x^2 + 1}$ — um erro de sinal que tornaria todas as alternativas falsas; aqui ela foi corrigida.
Para que valores de $t$ o sistema $x + y = \pi$, $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} y = \log_{10} t^2$ admite solução?
De $x + y = \pi$ vem $\operatorname{sen} y = \operatorname{sen} x$, e a segunda equação fica $2\operatorname{sen} x = 2\log_{10}|t|$, ou $\operatorname{sen} x = \log_{10}|t|$. Há solução se, e somente se, $-1 \le \log_{10}|t| \le 1$, isto é, $0{,}1 \le |t| \le 10$. Para $t > 0$, é o intervalo de (d) — com a ressalva de que $t = 0{,}1$ também serve, e os valores negativos correspondentes também.
Teste 121GV-75
O gráfico de $y = \operatorname{sen} x - \cos x$, para $0 \le x \le \pi$, é:
$\operatorname{sen} x - \cos x = \sqrt{2}\operatorname{sen}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$: vale $-1$ em $x = 0$, zero em $\frac{\pi}{4}$, atinge o máximo $\sqrt{2}$ em $\frac{3\pi}{4}$ e termina valendo $1$ em $x = \pi$. É o gráfico (d).
