Este capítulo leu os sinais do cálculo um a um. O roteiro abaixo junta as perguntas que ajudam a lê-los juntos.

Cinco perguntas para o cálculo

  1. Quem varia e em relação a quem? Em $\frac{dy}{dx}$, as duas letras estão escritas. Em $f'$, a variável está implícita; em $\dot x$, é o tempo. Se não estiver claro, escreva.
  2. É uma diferença finita ou um limite? $\Delta$ e $\Sigma$ são contas com números; $d$ e $\int$ são o que sobra quando a conta encolhe sem fim. A forma se parece, o significado muda.
  3. O cancelamento vale aqui? Com uma variável e uma ordem de derivação, $\frac{dy}{dx}$ se comporta como fração. Com segundas derivadas ou derivadas parciais, confira antes de cancelar.
  4. Qual letra é muda? Na integral, a letra do $d$ é ligada; no limite, a letra da seta também. Nenhuma das duas pode aparecer do lado de fora.
  5. O $\infty$ é direção ou quantidade? Em $x\to\infty$ e $\sum^\infty$, é uma direção, e as contas com ele precisam de limite. Só os $\aleph$ de Cantor são quantidades.

A leitura completa de uma equação

$$\frac{d}{dx}\int_0^{x}e^{-t^2}\,dt=e^{-x^2}.$$
  1. A integral $\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ é a área sob a curva em forma de sino, de $0$ até $x$. É uma função de $x$: cada $x$ dá uma área.
  2. O $t$ é uma letra muda. Trocá-lo por $s$ não muda nada. Trocá-lo por $x$ seria um erro, porque o $x$ já está no limite.
  3. O $\frac{d}{dx}$ é um operador: pede a taxa com que essa área cresce quando $x$ cresce.
  4. O $=$ afirma uma identidade, válida para todo $x$. É a primeira parte do teorema fundamental.
  5. O detalhe notável: a integral $\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ não tem fórmula com funções elementares. Mesmo assim, a sua derivada se escreve em uma linha. A notação permite falar de uma função sem saber escrevê-la.

Glossário

  • Diferença ($\Delta$). Variação finita de uma grandeza: $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$.
  • Diferencial ($dy$). Variação ao longo da reta tangente: $dy=f'(x)\,dx$. Aproxima $\Delta y$ quando o passo é pequeno.
  • Derivada. Limite de $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ quando $\Delta x\to0$. Escrita $\frac{dy}{dx}$, $f'(x)$, $\dot y$ ou $Dy$.
  • Operador. Regra que transforma uma função em outra, como $D$, que deriva. Pode ser somado, multiplicado e, com cuidado, fatorado.
  • Equação característica. Polinômio obtido trocando $D$ por $r$ numa equação diferencial linear com coeficientes constantes.
  • Soma de Riemann. Soma $\sum f(x_i)\,\Delta x$ de áreas de retângulos que aproximam uma integral.
  • Integral definida. Limite das somas de Riemann: $\int_a^b f(x)\,dx$, um número.
  • Primitiva (integral indefinida). Função $F$ com $F'=f$. Determinada a menos de uma constante: $\int f(x)\,dx=F(x)+C$.
  • Teorema fundamental do cálculo. Derivar e integrar são operações inversas: $\frac{d}{dx}\int_a^xf=f(x)$ e $\int_a^bF'=F(b)-F(a)$.
  • Forma indeterminada. Expressão como $\infty-\infty$ ou $\frac00$ cujo valor depende do caminho, e não só da forma.
  • Série. Soma com infinitas parcelas. Converge quando as somas parciais se aproximam de um número, que se chama a soma da série.
  • Convergência condicional. Série que converge, mas cuja soma muda quando as parcelas são reordenadas.
Exercício: aplique o roteiro

Leia $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}x}{h}=\cos x$.

Quem varia é o $h$, ligado pelo limite; o $x$ é livre. A fração é uma diferença finita dividida pelo passo, $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, e o limite a transforma na derivada. O $=$ é uma identidade, válida para todo $x$. Na notação de Lagrange, é a frase $\operatorname{sen}'=\cos$; na de Arbogast, $D\operatorname{sen}=\cos$.

Exercício: ache a letra capturada

Um aluno escreveu $F(x)=\int_1^x\frac{1}{x}\,dx=\ln x$. O resultado está certo. O que está errado na escrita?

O $x$ aparece como limite superior, que é livre, e como variável de integração, que é ligada. A escrita correta é $F(x)=\int_1^x\frac1t\,dt=\ln x$. O resultado sai certo por sorte; com integrandos que dependem dos dois papéis ao mesmo tempo, sairia errado.

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